Lineare Abbildung von R^7 nach R^2

Question

ich bräuchte bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

 

Habe gerade überhaupt keinen Plan, wie ich vorgehen müsste.

Answer 1

Aus der Linearität folgt:

$$ h\left( -2x+3y \right) =h\left( -2x \right) +h\left( 3y \right) =-2\cdot h\left( x \right) +3\cdot h\left( y \right) \\=\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -9 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -13 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Wenn x und y linear abhängig wären, so müssten es h(x) und h(y) sein. Im Umkehrschluss folgt aus der linearen Unabhängigkeit von h(x) und h(y), dass auch x und y linear unabhängig sein müssen.

Comments

$$ y=\lambda \cdot x\quad \Rightarrow \quad h\left( y \right) =h\left( \lambda \cdot x \right) =\lambda \cdot h\left( x \right) $$

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$$ h\left( y \right) \neq \lambda \cdot h\left( x \right) \quad \Rightarrow \quad y\neq \lambda \cdot x $$

D.h. x und y sind linear unabhängig

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Wären hingegen h(x) und h(y) linear abhängig, so folgt daraus nicht zwangsläufig, dass auch x und y linear abhängig sein müssen.

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Das war sehr verständlich erklärt :)