lineare Abbildung f: R^2 nach R^2 mit f((1,2)) = (3,-1) , f((0,1)) = (2,1)

Question

Bräuchte mal Hilfe bei dieser Aufgabe. Linear ist eine Abbildung doch, wenn Homogenität und Additivität gilt, aber wie geht man hier vor?

Answer 1

weil jedes (a , b) aus IR²  durch ( 1,2) und ( 0,1) dargestellt werden kann in der Form

a* ( 1,2)  + ( b-2a) *( 0,1)    =    ( a,b)

damit ist f(a,b) =  f (   a* ( 1,2)  + ( b-2a) *( 0,1)  )


=  a* f( 1,2)  + ( b-2a) *f( 0,1)  =  a*(3 , -1)  + ( b-2a) * ( 2 , 1 )  =  ( - a + 2b , -3a + b  )also ist die Matrix

-1     2
-3    1

Comments

danke

wie kommst du auf  b-2a? 

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mach den Ansatz  x* ( 1,2)  + y *( 0,1)    =    ( a,b) Dann bekommst du zwei Gleichungen und bestimmst damit x und y

und du erhältst x=a und y = b-2a

Answer 2

f((1,2)) = (3,-1) , f((0,1)) = (2,1) 

Die Spalten der darstellenden Matrix sind die Bildvektoren der Basisvektoren (1,0) und (0,1).

f((1,0)) = ? 

f((1,0)) = f ( (1,2) - 2*(0,1))   | lin. Abbildung

= f((1,2)) - 2f((0,1)) 

= (3, -1) - 2*(2,1) 

= (-1, -3) 

Gesuchte Matrix

M =

[ -1    2 ]

[ -3    1] , wenn ich richtig gerechnet habe :)