Minimum von f mit der Kettenregel bestimmen? f(x) = 2(x-4)² -3

Question

f(x) = 2(x-4)² -3

Ich brauche das Minimum davon.. sieht man ja auf Anhieb und zu rechnen. (4 I -3)

Mein "Nachhilfeschüler", sagt er soll es mit der Kettenregel lösen.. Wie geht das ? (Ich helfe einem jüngeren Schüler mit Mathe)

Answer 1

Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt aus den Ableitungen von äußerer und innerer Funktion.

f(x) = u(v(x))  ⇒   f'(x) = u'(v) * v'(x)

Im Beispiel:

v(x) = x - 4           ;       v'(x) = 1

u(v) = 2v² - 3       ;       u'(v) = 4v = 4(x - 4)

f'(x) = 1 * 4(x - 4) = 4x - 16

Comments

v(x) ist die innere Funktion und

u(v) ist die äußere Funktion.

Answer 2

Ableiten(Kettenregel), Nullstellen der Ableitung berechnen, zweite Ableitung berechnen, Nullstellen der 1. Ableitung in die Zweite einsetzen und auf Minimum prüfen.

Answer 3

Zur Kontrolle

f ( x ) = 2 * ( x-4 )^2 -3
f ´( x ) = 2 * 2 * ( x - 4 ) * 1 = 4 * x - 16
Stellen mit waagerechter Tangente
4 * x - 16 = 0
x = 4
2.Ableitung
f ´´ ( x ) = 4 * 1 = 4
Die 2.Ableitung ist stets positiv, also stets Linkskrümmung.
( 4 | - 3 ) ist ein Tiefpunkt.

~plot~ 2 * ( x-4 )^2 -3 ~plot~