"Satz-Suche" bezüglich einer Polynomfunktion dritten Grades und speziellen Tangenten

Question

Aufgabe:

Die Bilder zeigen Graphen von Polynomfunktionen dritten Grades sowie spezielle Tangenten.

- Welche Besonderheit lässt sich vermuten?

- Formuliere die Vermutung als Satz und beweise ihn für die konkreten Beispiele bzw. allgemein.

- Es gibt noch eine dritte Tangente dieser speziellen Art. Zeichne sie ein.

Comments

Die Besonderheit würde mich auch interessieren. Habe bisher nichts erkennen können.

Die kubische Funktion hat 3 Nullstellen, wovon eine gleich Null ist. Die Tangenten verlaufen durch die äußeren Nullstellen.

Was das Besondere an diesen Tangenten ist, habe ich noch nicht erkannt.

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Hi, vielleicht so: Der Graph der kubischen Funktion hat mit einer Geraden ein, zwei oder drei gemeinsame Punkte. Da die Geraden in den Beispielen Tangenten sind, muss es genau zwei oder genau einen gemeinsamen Punkt geben. Sicher ist es sinnvoll, dies mal genauer zu begründen. In den Beispielen haben die beiden Graphen außer dem nicht auf der x-Achse gelegenen Berührpunkt noch einen Nullpunkt als zweiten Punkt gemein.

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Verfolge erst jf113s Idee. 

Wenn das nichts bringen sollte: 

Was  ist euer Thema? Ableiten, integrieren? Wenn du schon integrieren kannst, berechne mal die verschiedenen zwischen Kurve, Tangenten und Achsen eingeschlossenen Flächenstücke.

Answer 1

Berechne doch mal den Funktionsterm des Polynoms dritten gerades sowie die der eingezeichneten Tangenten.

Ich habe dir auch noch die dritte Tangente zu dem Beispiel eingezeichnet.

Comments

Hi danke, dass hat mir schon weitergeholfen.

Ich habe jetzt als Funktionsterm f(x)= x³-8x²+12x

t_1(x) = -x+6  und t₂(x) = -4x

Ist es von Bedeutung, dass es sich beim Berührpunkt um Hoch-/Tiefpunkte handelt?

Würde die Besonderheit dann lauten, dass die Tangenten genau 2 Punkte mit dem Polynom dritten Grades gemeinsam haben?

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Die Berührpunkte sind nicht genau die Extrempunkte. 

Die Besonderheit bezieht sich auf die Lage der Tangentenstellen im Verhältnis zu den Nullstellen.

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Was genau bedeutet das?

Und wie formuliert man so was als Satz??

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Man könnte folgenden Satz bilden:

Konstruiert man die Tangente an der Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit 3 verschiedenen Nullstellen genau in der Mitte zweier Nullstellen, so schneidet die Tangente den Graphen an der dritten Nullstelle.

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Dann probier ich es mal so..

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Interessante Eigenschaft. Danke für die Lösung.

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Ihr könnte ja mal prüfen, ob es wirklich für jede Funktion 3 Grades mit 3 Nullstellen gilt.

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Wer will kann mal mit einem von mir gebasteltem Graphen herumspielen

https://www.desmos.com/calculator/0ayrre5v49

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Zu dem Graph hätte ich noch eine Frage:

Wie kommst du auf die Geradengleichung g(x) = d÷(dx) f(x) ?

Für was steht da das "d"?

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d/dx f(x) ist nur eine andere Schreibweise für f'(x)

Man bildet also einfach nur die Ableitung von f(x).