Wie zeige ich Differenzierbarkeit folgender Funktion?

Question

f: R->R f(x) = cos(x* sin(x))

Kann ich argumentieren, dass es eine Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen ist?

Wie sähe die Lösung per Rechnung aus?

Und noch eine Aufgabe:

x^2*|x|=f(x)

Answer 1

Im ersten Fall hast du eine Komposition diff'barer Funktionen über IR. Die sind dii'bar. Im zweiten Fall kannst du die Funktion betragsfrei abschnittsweise definieren . Sie ist in IR/{0} aus dem gleichen Grund diff'bar. In x=0 musst du prüfen, ob der links- und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten übereinstimmen

Comments

Wozu die Unterscheidung in links- und rechtsseitig? Das ist nicht nötig.

Answer 2

Bei der ersten Funktion hast du ja schon alles gesagt: \(x\mapsto x, x\mapsto \sin(x), x\mapsto \cos(x)\) sind auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar. \(f\) ist als Produkt bzw. Verkettung dieser Funktionen damit auch differenzierbar.

Bei der zweiten Funktion geht es ähnlich: Die Betragsfunktion ist auf \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) differenzierbar, \(x\mapsto x^2\) auf ganz \(\mathbb R\). Damit ist die Funktion auf \(\mathbb R\setminus\{0\}\) differenzierbar. Die Differenzierbarkeit bei \(x=0\) musst du gesondert untersuchen (mit der Definition der Ableitung).

Answer 3

f(x) = cos(x* sin(x))

Wie sähe die Lösung per Rechnung aus?

Durch Anwendung der Kettenregel

[ cos ( term ) ] ´  = -sin ( term ) * [ term ´ ]

term = x * sin ( x )
Ableitung nach der Produktregel
1 * sin ( x ) + x * cos ( x )

[ cos ( term ) ] ´  = -sin ( x * sin ( x ) ) * [ 1 * sin ( x ) + x * cos ( x ) ]