Beispiel: Binärentwicklung eines Bruches. Bsp. 1/3. Wie funktioniert diese Rechenart?

Question

Die Rechenart sollte was mit Binäreentwicklung zu tun haben und läuft z.b mit der Bruch 1/3:
        1 = 0*3+1 2*1 = 2 = 0*3+2 2*2 = 4 = 1*3+1 2*1 = 2 = 0*3+1 2*2 = 4 = 1*3+1 usw. bis unendlich so dass die Binäredarstellung von 1/3 = 0,01010101...... ist.
Ich sollte jetzt diese Rechnung auch für andere Brüche wie 1/2, 1/4 anwenden aber habe keine ahnung mit welchen Zahlen hier gearbeitet wird außer die Binärzahl beim 0*3, 0*3, 1*3 usw

Answer 1

1 = 0*3+1     2*1 = 2 = 0*3+2        2*2 = 4 = 1*3+1         2*1 = 2 = 0*3+1       2*2 = 4 = 1*3+1

Die rot markierten sind die Reste bei der Division durch 3, bzw. Aufspaltung in k*3 + Rest.

Die Reste werden jedes Mal mit 2 multipliziert und das Produkt wieder neu aufgespaltet.

und die grünen sind immer die Werte von k. Die bilden die Ziffern der Dualzahl.

1/3 = 0,01010101......

Bei 1/2 wäre das so

1 = 0*2 + 1  

2*1 = 2 = 1*2 + 0

Hier endet es schon, weil als Rest 0 entsteht.

also   1/2 = 0,1    und das ist in der Tat die Binärdarstellung von 1/2

Bei 1/4 ist es so

1 = 0*4 + 1

2*1 = 2 = 0*4 + 2

2*2 = 4 = 1*4 + 0   Rest 0 also Ende.

1/4  = 0,01

oder 1/5 gibt:

1 = 0*5 + 1

2*1 = 2 = 0*5 + 2

2*2 = 4 = 0*5 + 4

2*4 = 8 = 1*5 + 3

2*3 = 6 = 1*5 + 1

2*1 = 2 = 0*5 + 2   Das ist das Gleiche wie die 2. Zeile, also wiederholt sich

jetzt wieder alles und das heißt

1/5 = 0,001100110011...  also immer abwechselnd zwei 0en und zwei 1en.