Gruppe. Formel a^{n+m} = a^n * a^m beweisen für n,m € Z.

Question

Kann mir jemand beim loesen der Aufgabe helfen ?

Answer 1

Wie man die a) beweist hängt von der verwendeten Defintion aⁿ ab.

Die b) geht wohl am einfachsten per Induktion.

Answer 2

zu a)     Voraussetzung:   a^1=a  und    a^n * a = a^{n+1}  für alle  n aus IN   per Definition der Potenz

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:          a^{m+1} = a^m *a = a^m * a^1    für n=1   (und ein festes m aus IN)

Induktionsvoraussetzung:  a^{m+z} = a^m *a^z  für ein festes z aus IN

zu zeigen:  a^{m+z+1} = a^m * a^{z+1}

Es gilt:  a^{m+z+1} = a^{m+z} * a = (a^m*a^z) * a  nach Induktionsvoraussetzung

= a^m *(a^z * a)  Assoziativgesetz (gilt in einer Gruppe)

= a^m * a^{z+1}