Gleichungssystem mit inverser Matrix lösen

Question

wie würdet ihr folgende Aufgabe lösen:

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der inversen Matrix:

0,1x + 2y = 2

2x + 50y = 45

Habe als Ergebnis:

1  0   /  10

0  1  /  0,5

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Die inverse Matrix einer \( 2 x 2 \) Matria \( A = \begin{pmatrix}  a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) berechnet man wie folgt

$$  A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

Für \( \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \) folgt also

$$ A^{-1} = \frac{1}{5-4} \begin{pmatrix} 50 & -2 \\ -2 & 0.1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 50 & -2 \\ -2 & 0.1 \end{pmatrix} $$

Die Lösung folgt dann aus \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 50 & -2 \\ -2 & 0.1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0.5 \end{pmatrix} \)

Answer 2

Ich habe folgendes Ergebnis für die Inverse

[0.1, 2; 2, 50]^{-1} = [50, -2; -2, 0.1]

Dann bekommst du die Lösung

[50, -2; -2, 0.1]·[2; 45] = [10; 0.5]

Dein Ergebnis ist also richtig.