Kugel wird von Lichtquelle beleuchtet

Question

Eine Kugel mit Radius r wird von einer Lampe (Punkt-Lichtquelle) beleuchtet, die im Abstand a vom Kugelmittelpunkt steht. Welcher Bruchteil der Kugeloberfläche liegt im Schatten?

Bei dieser Aufgabe stehe ich voll auf dem Schlauch und kriege auch keinen Anständigen Ansatz hin. 

Ich wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen könnte. 

Answer 1

Schau mal unter 

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment

https://de.wikipedia.org/wiki/Kathetensatz

Dort findest du wie du den Mantel berechnest

h = r - r^2/a

KS / O = 2·pi·r·h/(4·pi·r^2) = h/(2·r) = (r - r^2/a)/(2·r) = (a - r)/(2·a)

Comments

Wie hast du h berechnet?

Für h wendetet ich folgende Formel an:

h • a = r²

Diese Gleichung umgestellt ergibt h = r²/a

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mathef hat das anhand einer Skizze unten schön erläutert.

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Und wie müsste ich den das rechnen wenn Prozent vorkommen? Den in den Lösungen steht 39% 51% und 8% aber ich habe keine Ahnung wie man da drauf kommt.

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Feste Werte bekommst du eigentlich nur wenn verschiedene Werte für a und r gegeben sind.

Es ist am besten immer die genaue Aufgabenstellung hier hin zu schreiben. Ansonsten kann man nur helfen was mit der Aufgabe hier möglich ist.

Answer 2

Ich mach mal eine Skizze:

Die Seite a ist die Hypotenuse in einem rechtwi. Dreieck mit der Kathete r und das grüne

ist die Höhe und teilt die Hypotenuse in p und q auf.

Der Kathetensatz besagt  r^2 = p*a also  p = r^2 / a

Und wenn du das blaue h haben willst, dann ist das eben r - p,

also r - r^2 / a wie es der Mathecoach gerechnet hat.

Comments

Da habe ich einen Fehler gemacht, ich setzte h mit p gleich..

Ich habe die Aufgabe noch fertig gelöst und erhielt das selbe Resultat wie der Mathecoach. In meinen Lösungen steht jedoch folgendes:

(a+r)/2a

Da wäre doch wenn p noch zu r dazugezählt würde? Gibt es hier möglicherweise zwei Lösungen?

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vielleich + / - Fehler in der Lösung ???

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Das wäre möglich. Mich verunsicherte jedoch, dass in der zweiten Aufgabe, welche auf der ersten aufbaut, mit (a+r)/2a weitergerechnet wurde. 

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(a + r)/(2·a) ist richtig. 

Bemerke das ich berechnet habe welcher Bruchteil der Kugeloberfläche beleuchtet wird.

Damit ist der Anteil der im Schatten liegt 1 - (a - r)/(2·a)

Wenn du dich mit meiner Lösung auseinandergesetzt hast sollte dir das eigentlich aufgefallen sein.