Wieso konvergiert diese Reihe gegen 1/e?

Question

∑ n!/n^n 

Ich habe mal den Quotientenkriterium angewendet und kam am Ende aufs (n^{n+1}+n^n)/n+1^{n+1} welche im limes n gegen ∞ Grenzwert 0 hat.

Aber Lösung besagt 1/e.

Was habe ich da falsch gemacht?

Answer 1

Du meinst wohl

(nⁿ⁺¹+nⁿ)/(n+1)ⁿ⁺¹  dann im Zähler n^n ausklammern gibt

n^n * (n+1)  /  /(n+1)ⁿ⁺¹     jetzt (n+1) kürzen

n^n  /  /(n+1)ⁿ

Das ist der Kehrwert von  ((n+1)/n )^n  =   ( 1 + 1/n ) ^n und das

ist eine Folge die gegen e geht.

Also geht deine gegen   1/e .

Answer 2

Erklärung , ist also 1/e!

Answer 3

- Es unklar was du genau meinst, (nⁿ⁺¹+nⁿ)/n+1ⁿ⁺¹  bedeutet eigentlich: $$\frac{n^{n+1}+n^n}{n}+1^{n+1}$$, was du wohl nicht meinst. (Bitte richtig Klammern setzen)

-Du meinst vermutlich $$ \frac{ n^{n+1}+n^n } { (n+1)^{n+1} }  = (  \frac{n}{n+1} )^{n+1} +\frac{1}{n}\cdot ( \frac{n}{n+1} )^{n+1} \rightarrow 1/e+0 \cdot 1/e=1/e $$ 

Und das Quotientenkriterium besagt nur OB eine Reihe konvergiert, sie macht keine Aussage über den genauen Reihenwert.

Comments

ja das muss noch (n+1)^{n+1} heissen tut mir leid