Nullstellen berechnen f(x) = x^3 -3x^2-x +3

Question

Um Nullstellen zu rechnen muss man ja generell die Gleichung 0 setzen . Ich weiß nur nicht wie man genau weiter rechnet.  Wäre für Hilfe dankbar:D

Comments

Hallo ich weiß nicht wie ich hier die Nullstellen berechne kann mir das bitte jemand vorrechnen?

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EDIT: Seit wann sind doppelte Fragen erlaubt:

Es lagen hier schon Antworten vor, als ich gesehen habe, dass die ein Duplikat vorhanden ist.

Wenn ihr so was sieht, bitte als Kommentar gleich den Link dorthin angeben, damit man die zusammenfügen und (falls erledigt) eine Version schliessen kann.

Answer 1

$$f(x)=x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-(x-3)$$$$\qquad=(x^2-1)(x-3)=(x+1)(x-1)(x-3).$$Die Nullstellen sind nun direkt ablesbar.

Comments

DankeHätte ich das auch so weiter rechnen können und schließlich die pq-Formel anwenden?f (x) = x^3 -3x^2 -x + 3 / -3-3= x^3-3x^2 -x+3

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Eher nicht.
Alternativ könntest du eine Nullstelle raten (z.B. \(x=1\)), dann eine Polynomdivision durchführen und anschließend die \(pq\)-Formel anwenden.
In diesem speziellen Fall ist es wohl am einfachsten, eine Wertetabelle für ganzzahlige \(x\) eventuell zwischen -5 und +5 anzulegen.

Answer 2

Hii!

Ich würde das mit Polnyomdivision machen. Dafür zunächst durch probieren die erste Nullstelle finden:

Durch Probieren ergibt sich x1=1 als Nullstelle.

Wenn du nicht weißt wie die Polynomdivision geht, ist hier ein Link:

https://www.matheretter.de/wiki/kubische-gleichungen#polyber

~plot~x^3-3x^2-x+3~plot~

Answer 3

Hi,

versuchs mal mit \( x = 1 \) und anschließender Polynomdivision.

Answer 4

f(1) = 0

Mache nun eine Polynomdivision durch (x-1) und benutze dann noch die pq-Formel.

Aber du kannst problemlos 2 weitere Nullstellen erraten, wenn du alle Teiler von 3 ± betrachtest. Sobald du 3 versch. Nullstellen hast, bist du auch fertig.

Comments

Vielen dank, nur wie komme ich auf die (x-1)?

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Weil x=1 eine (geratene) Nullstelle ist.

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Weil x=1 eine (geratene) Nullstelle ist.

Vgl. auch einfache erste Antwort hier:

https://www.mathelounge.de/256089/nullstellen-berechnen-f-x-x-3-3x-2-x-3 

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Wenn du eine (geratene) Nullstelle x = 1 hast, kannst du auf beiden Seiten der Gleichung 1 abziehen, und erhältst:

x - 1 = 1 - 1

(x - 1) = 0

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@Hansi: Worauf beziehst du dich? Ich könnte alle 3 Nullstellen erraten. Auf die Ausklammerung im Link, den ich angegeben habe, käme ich weniger schnell.

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Bezog sich nicht auf dich. Dass du das weisst, weiss ich^^

Sondern auf die Frage wie man von der Nullstelle 1 auf (x-1) kommt.

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Aha. Danke Hansi.

f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3

Man weiss (aus der Theorie zu Polynomen), dass sich bei solchen mit ungeradem Grad mindestens ein Linearfaktor abspalten lässt.

Geratene Nullstelle x=1 bedeutet, dass so was existiert.

 x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x-1) (x^2 + bx + c)  

Hier ist nun sicher der rechte Term 0, wenn man die geratene Nullstelle x=1 einsetzt.

(x^2 + bx + c)        ist dann das Ergebnis der Polynomdivision. 

(x^3 - 3x^2 - x + 3) : (x-1) = (x^2 + bx + c)   

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"Vielen dank, nur wie komme ich auf die (x-1)?"

Soweit ich es verstanden hatte, ging es in der Nachfrage weniger um Polynomdivision, als darum wie eben genau dieses (x-1) als Linearfaktor einer Nullstelle entsteht.

Deshalb hatte ich ergänzend entsprechende Umformung gepostet, um von der geratenen Nullstelle x=1 auf den Term (x-1) zu kommen, und den Zusammenhang zwischen beidem nachvollziehbarer zu machen.

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" eben genau dieses (x-1) als Linearfaktor einer Nullstelle entsteht."

Das hast du ja auch schon schön erklärt gehabt. - Bedurfte keiner Wiederholung. 

Ich habe auf den Hintergrund hingewiesen. 

Weiter sei an die Adresse des Fragestellers nochmals wiederholt, dass 

1. Drei verschiedene geratene Nullstellen genügen. Die findet man ohne Polynomdivision (vgl. meine Antwort) 

2. Die verlinkte Ausklammerung inkl. 3. binomische Formel einen eleganteren Weg zum Ziel darstellt. 

Answer 5

Hi, so geht es am einfachsten: Faktorisiere den Funktionsterm durch geschicktes Ausklammern, binomische Formeln oder wie auch immer, zum Beispiel so:
$$\begin{aligned} f(x) &= x^3 - 3x^2 - x + 3 \\     &= x^2 \cdot (x-3) - (x-3) \\     &= \left(x^2 - 1\right) \cdot (x-3) \\     &= (x+1) \cdot (x-1) \cdot (x-3).\end{aligned} $$Dann lies die Nullstellen einfach ab. Diese Methode hat auch irgendeinen eleganten Namen, den ich aber vergessen habe, und wird (in anderen Ländern?) im Rahmen der Schulmathematik gelehrt.

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Linearfaktordarstellung :)

Answer 6

für die  Polynomdivison durch einen Linearfaktor solltest du dir mal das Hornerschema ansehen:

Gruß Wolfgang

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Vielen Dank das Video war sehr verständlich und so werde ich es wohl demnächst machen:)