Stetigkeit von Funktionen bestimmen

Question

f(x) = (x^4-3x^2+2) / (x^2-3x-4)
Die Nullstellen des Nenners : x1 = -1 und x2 = 4 . Also sind das mögliche Stellen , in denen die Funktion unstetig ist .
Durch Einsetzen prüfen , ob Nullstellen auch im Zähler vorhanden : für x1 : Zählerpoynom ergibt 0  für x2 : " ergibt 206 .  -> also für x1 stetig und für x2 unstetig .
Dann folgt  f(x) = (x^3-x^2-2x+2 )/ (x-4) 
Frage : x1 wird ja weggekürzt . Bloß wie komme ich von (x^4-3x^2+2) auf  (x^3-x^2-2x+2 ) durch das Wegkürzen von x1 ? 

Answer 1

" von (x⁴-3x²+2) auf  (x³-x²-2x+2 ) " ? 

Da macht man z.B. eine Polynomdivision durch (x-x1). Also 

 (x⁴                                         -3x²                   +2) : (x+1)  = x^3 

-  (x^4 + x^3)

------------------------

           .      -x^3 

(x⁴                                         -3x²                   +2) : (x+1)  = x^3 - x^2 usw.

-  (x^4 + x^3)

------------------------

           .      -x^3 

.              - (-x^3        -x^2)

------------------------------------

                                  -2x^2 

                  .            usw.

 bis du rechts (x³-x²-2x+2 ) hast und unten 0 als Rest bleibt.  

Also:

(x⁴                                         -3x²                   +2) : (x+1)  = x^3 - x^2 - 2x  

-  (x^4 + x^3)

------------------------

           .      -x^3 

.              - (-x^3        -x^2)

------------------------------------

                                  -2x^2 

                  .            -(-2x^2  - 2x)

--------------------------------------------

                                                2x

und noch

(x⁴                                         -3x²                   +2) : (x+1)  = x^3 - x^2 - 2x  + 2 

-  (x^4 + x^3)

------------------------

           .      -x^3 

.              - (-x^3        -x^2)

------------------------------------

                                  -2x^2 

                  .            -(-2x^2  - 2x)

--------------------------------------------

                                                2x

.                                        -(   2x   + 2)

----------------------------------------------

                                                             0 fertig!

Comments

Du schreibst: "also für x1 stetig und für x2 unstetig . "

Die Idee stimmt. Genauer müsstest du schreiben:

In x1 ist die Definitionslücke stetig hebbar aber in x2 ist die Funktion unstetig, egal, wie der Funktionswert f(x2) definiert wird. 

Answer 2

Bloß wie komme ich von (x⁴-3x²+2) auf  (x³-x²-2x+2 ) durch das Wegkürzen von x1 ?

(x^2-2)*(x-1) = ...

Answer 3

f(x) = (x⁴-3x²+2) / (x²-3x-4)
Die Nullstellen des Nenners : x1 = -1 und x2 = 4

Zähler von 4 = 210
210 / 0 : Pol bzw. Unstetigkeitsstelle

Zähler von -1 = 0
0 / 0 ein Fall für l´Hospital
(x⁴-3x²+2) ´ /  (x²-3x-4) ´
( 4 * x^3 - 6 * x ) / ( 2 * x - 3 )
für x =-1
( -4 + 6 ) / ( -2 -3 )
2 / -5 = - 2/5 = -0.4
f ( -1 ) = -0.4
Die Lücke ist stetig hebbar:

( Ich weiß natürlich nicht ob du l ´ Hospital kennst )

Insgesamt ist die Funktion nicht stetig.