Da \(f\) stetig ist
Woraus hast du geschlossen, dass \(f\) stetig ist?
\( ] a, c] \xrightarrow{f}]-\infty, 0] \)
Was bedeutet das?
mit \( c \in \mathbb{R} \), \( c>a \quad \& f(c)=0 \).
Besser "für alle \(c>a\) mit \(f(c)=0\)" oder "für ein \(c>a\) mit \(f(c)=0\)" je nach dem was du meinst.
Unabhängig davon stellt sich die Frage, ob ein solches \(c\) existiert.
Satz. Seien \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a < b\) und \(f:]a,b[\to\mathbb{R}\) stetig. Gilt \( \lim \limits_{x \to a} f(x)=-\infty\) und \(\lim \limits_{x \to b} f(x)=\infty \), so ist \( f \) surjektiv.
Beweis. Sei \(y\in \mathbb{R}\).
Sei \(c_1\in ]a,b[\) mit \(f(c) < y\) für alle \(c\in ]a,c_1]\). Ein solches \(c_1\) existiert wegen \(\lim \limits_{x \to a} f(x)=-\infty\).
Sei \(c_2\in ]a,b[\) mit \(f(c) > y\) für alle \(c\in [c_2,b[\). Ein solches \(c_2\) existiert wegen \(\lim \limits_{x \to b} f(x)=\infty\).
Wegen \(c_1 < c_2\) und \(f(c_1) < y\) und \(f(c_2) > y\) und der Stetigkeit von \(f\) auf \([c_1,c_2]\) existiert laut Zwischenwertsatz ein \(c\in [c_1,c_2]\) mit \(f(c)=y\).
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