Beweis von Stetigkeit im R^n

Question

Aufgabe:

Menge aller Punkte in denen f stetig ist + Folgen

Problem/Ansatz:

Hi, ich soll für die Funktion die Menge aller Punkte abgeben, in denen sie stetig ist.

F von R^2 → R : (x-1)*y*√y / (x-1)^2 + y^2 (Y bei der Wurzel als Betrag) falls (x,y) ∈ R^2, Ohne (1,0)

                      0      falls x = 1, y =0

Meine erste Vermutung wäre das der Bruch stetig als Komposition stetiger Funktionen ist. Dazu vermute ich, dass f stetig in (1,0). Dafür müsste ich zeigen, dass f für jede beliebige Folge die gegen (1,0) geht, auch 0 ergibt. Und hier kommt der Punkt wo ich nicht weiter komme.

Vielleicht kann mir hier jemand helfen :)

Comments

Bist du sicher, dass die Funktion so richtig notiert ist? Es ist \(y\in\mathbb R\) zugelassen, was aber spätestens bei negativen \(y\), wegen \(\sqrt y\) im Zähler, problematisch wird.

Oder meinst du mit Betragszeichen dies hier:\(\quad\frac{(x-1)y\sqrt{|y|}}{(x-1)^2+y^2}\)

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Mit Schreibfehler : Substituiere x-1=z und Polarkoordinaten,
ohne Schreibfehler : x=1+n^-4, y=n^-2

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{(x-1)y\sqrt{|y|}}{(x-1)^2+y^2} &\text{für }(x;y)\ne(1;0)\\[2ex]0 &\text{für }(x;y)=(1;0)\end{array}\right.$$

Deine Argumentation für die Stetigkeit der Funktionen in allen Punkten außer \((1;0)\) ist nachvollziehbar und korrekt. Zur Untersuchung der Stetigkeit im Punkt \((1;0)\) musst du zeigen, dass auf allen möglichen Wegen zum Punkt \((1;0)\) der obere Term gegen \(0\) konvergiert.

Im eindimensionalen Fall kann man sich einem Punkt von links und von rechts nähern, daher betrachtet man da den links- und den rechtsseitigen Grenzwert. Im zweidimensionalen Fall kann man z.B. einen Kreis um den Punkt \((1;0)\) legen und dessen Radius \(r\) dann mit \(r\to0\) auf einen Punkt zusammenziehen. Wir wählen daher einen passenden Kreis in Polardarstellung:$$\binom{x}{y}=\binom{1}{0}+\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}=\binom{\red{1+r\cos\varphi}}{\green{r\sin\varphi}}\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$Wichtig ist, dass wir \(\varphi\in[0;2\pi]\) zulassen, damit wir uns wirklich aus allen möglichen Richtungen dem Punkt \((1;0)\) nähern.

Wir setzen diese Darstellung in die obere Funktionsgleichung ein:$$f(r;\varphi)=\frac{((\red{1+r\cos\varphi})-1)(\green{r\sin\varphi})\sqrt{|\green{r\sin\varphi}|}}{((\red{1+r\cos\varphi})-1)^2+(\green{r\sin\varphi})^2}=\frac{r\cos\varphi\cdot r^{\frac32}\sin\varphi\sqrt{|\sin\varphi|}}{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}$$$$\phantom{f(r;\varphi)}=\frac{r^{\frac52}\cos\varphi\sin\varphi\sqrt{|\sin\varphi|}}{r^2}=\frac12\sqrt r\sin(2\varphi)\sqrt{|\sin\varphi|}$$Für \(r\to0\) kommt unabhängig vom Richtiungswinkel \(\varphi\) stets \(0\) als Grenzwert heraus, und das ist der Funktionswert an der Stelle \((1;0)\). Also ist die Funktion stetig.