Stetigkeit und Funktionen Beweis

Question

Ist mein Beweis richtig?

Text erkannt:

a) Zeige: Gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=-\infty \& \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty \), so ist \( f \) surjektiv.
Beweis:
Es gelte \( \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=-\infty, d . h \). sei \( \left.\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} C\right] a, b[ \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \) eine beliebige Folge, so gilt für diese \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=-\infty \). Also gilt das für jede Folge, die gegen a konvergiert.
Da \( f \) stetig ist, gilt also \( ] a, c] \xrightarrow{f}]-\infty, 0] \) mit \( c \in \mathbb{R} \), \( c>a \quad \& f(c)=0 \).
Analog, da auch \( \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty \) gilt, gilt \( \left.\forall\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset\right] a, b[ \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=b: \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty \).
Da \( f \) stetig ist, gilt also auch \( [c, b[\stackrel{f}{\rightarrow}[0, \infty[ \) mit \( c \in \mathbb{R} \) \( c<b \& f(c)=0 \).
Damit gilt insgesamt: \( ] a, b[\rightarrow]-\infty, \infty[=\mathbb{R} \). Damit ist \( f \) surjektiv.

Answer 1

Da \(f\) stetig ist

Woraus hast du geschlossen, dass \(f\) stetig ist?

\( ] a, c] \xrightarrow{f}]-\infty, 0] \)

Was bedeutet das?

mit \( c \in \mathbb{R} \), \( c>a \quad \& f(c)=0 \).

Besser "für alle \(c>a\) mit \(f(c)=0\)" oder "für ein \(c>a\) mit \(f(c)=0\)" je nach dem was du meinst.

Unabhängig davon stellt sich die Frage, ob ein solches \(c\) existiert.

Satz. Seien \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a < b\) und \(f:]a,b[\to\mathbb{R}\) stetig. Gilt \( \lim \limits_{x \to a} f(x)=-\infty\) und \(\lim \limits_{x \to b} f(x)=\infty \), so ist \( f \) surjektiv.

Beweis. Sei \(y\in \mathbb{R}\).

Sei \(c_1\in ]a,b[\) mit \(f(c) < y\) für alle \(c\in ]a,c_1]\). Ein solches \(c_1\) existiert wegen \(\lim \limits_{x \to a} f(x)=-\infty\).

Sei \(c_2\in ]a,b[\) mit \(f(c) > y\) für alle \(c\in [c_2,b[\). Ein solches \(c_2\) existiert wegen \(\lim \limits_{x \to b} f(x)=\infty\).

Wegen \(c_1 < c_2\) und \(f(c_1) < y\) und \(f(c_2) > y\) und der Stetigkeit von \(f\) auf \([c_1,c_2]\) existiert laut Zwischenwertsatz ein \(c\in [c_1,c_2]\) mit \(f(c)=y\).

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Comments

Danke für deinen Ansatz. Ja also ich hab es vergessen zu schreiben, natürlich ist f stetig nach Voraussetzung. Ist denn aber mein Beweisweg auch korrekt?

Achso ja:

]a,c] -> ]-unendlich, 0] bedeutet einfach

f(]a,c]) = ]-unendlich, 0]

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gilt also \( ] a, c] \xrightarrow{f}]-\infty, 0] \)

Mir ist nicht klar, warum das gelten sollte.

Außerdem bist du nicht darauf eingegangen, ob das für jedes \(c>a\) mit \(f(c) = 0\) gilt, oder ob ein \(c>a\) mit \(f(c) = 0\) existiert so dass obiges gilt.

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Ja also wir wissen ja je mehr die Argumente x gegen a konvergieren, desto mehr geht die Funktion nach minus unendlich. Dieses c ist einfach ein beliebiges Argument, welches die  0 abbildet. Dieses existiert ja, da f für x -> a nach - unendlich geht und für x -> b nach plus unendlich und daher irgendwo an einer Stelle c die x-Achse trifft, also eine Nullstelle hat und f ja stetig ist. Also gilt insgesamt f(]a,c]) = ]-unendlich, 0]

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Hier nochmal das überarbeitete:

Text erkannt:

Aufgabe 2: Sei \( f:] a, b[\rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion. a) Zeige: Gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=-\infty \& \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty \), so ist \( f \) surjektiv.
Beweis: Es gilt für \( x \rightarrow a, f(x) \longrightarrow-\infty \& \) für \( x \rightarrow b \), \( f(x) \rightarrow+\infty \). D.h. es gibt ein \( \left.x_{1} \in\right] a, b\left[\right. \) mit \( f\left(x_{1}\right)<0 \) \& ein \( \left.x_{2} \in\right] a_{1} b\left[\right. \) mit \( x_{2}>x_{1} \& f\left(x_{2}\right)>0 \).
Diese exishienen, da f für \( x \rightarrow a \) nach \( -\infty \& \) für \( x \rightarrow b \) nach \( +\infty \) geht.
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein \( \left.x_{0} \in\right] a, b[ \)
mit \( f\left(x_{0}\right)=0 \). Da \( f \) stetig ist \( k \) bei stetigen Funktionen der Vorlesung die Bilder von Intervallen, auch Intervalle sind, gilt \( \left.\left.\left.f] a_{1} x_{0}\right]=\right]-\infty, 0\right] \) \& \( f\left[x_{0}, b[=[0, \infty[\right. \).
Damit folgt also \( f] a, b[=\mathbb{R} \& f \) ist surjektiv.