ln(1+x^2/y^2)/y^2 Stetigkeit im R^n

Question

Ich schreibe am Donnerstag eine Klausur und rechne grade an ner alten Übungsaufgabe, die lautet:

Beweisen Sie, dass f(x,y) in ganz R^2 stetig ist.

f(x,y)= ln(1+x^2+y^2)/y^2 y ≠ 0

x^2                   y=0

Ich habe leider noch nicht viele solcher Aufgaben gerechnet und weiß nicht so richtig wie ich da rangehen soll. Ich habe versucht mir zwei Folgen x_n,y_n die beide gegen 0 gehen zu konstruieren, aber irgendwie bekomme ich das damit nicht so wirklich hin. Hat vielleicht jemand nen Tipp, wie ich an die Aufgabe rangehen muss?

Comments

Sicher das die Aufgabe richtig abgeschrieben ist? Die Funktion, so wie sie da steht, ist nicht stetig in ganz \(\mathbb{R}^2\).

Im übrigen sind die Funktionen im Titel und im Text unterschiedlich.

Answer 1

oder war es vielleicht :   Prüfen, ob auf R^2 stetig ist ?

Dann wäre z.B. die Folge  ( 1; 1/n ) geeignet.  Die geht gegen (1;0) und  f(1;0) = 1

Aber die Folge der Funktionswerte ist

ln ( 1 + 1 + 1/n^2 ) / (1/n^2) = ln( 2 + 1/n^2 ) * n^2

und das ist ein Produkt, bei dem der eine Faktor gegen ln(2)

und der andere gegen unendlich geht, also :

Grenzwert der Funktionswerte = unendlich und nicht gleich 1.

Also ist f jedenfalls bei (1;0) nicht stetig.