zur Monotonie:
Das kannst du im Grunde nur durch Rückwärtsrechnen
verstehen, das ist ja bei vielen Beweisen so, dass man
sich wundert wie da einer drauf gekommen ist.
wenn du f(x) < f(y ) haben willst, setzt du erst mal den Funktionsterm ein.
Und wegen der Monotonie von arctan kannst du den sozusagen weglassen
und hast dann
( x+ 1/2 ) ^2 + 3/4 < ( y+ 1/2 ) ^2 + 3/4
und musst ja irgendwie schauen, wie auf x < y kommst, also die 3/4 auf
beiden Seiten weg gibt:
( x+ 1/2 ) ^2 < ( y+ 1/2 ) ^2
aber die Quadrate kannst du jetzt nicht einfach weglassen, denn die
Quadratfunktion ist streng monoton steigend nur im Bereich [0 ; unendlich[.
Also x+1/2 und y +1/2 beide größer oder gleich 0 sind.
Das sind sie aber nur, wenn x und y beide größer gleich -1/2 sind,
Deshalb fängt der Beweis damit an; denn nur in dem Bereich ist die
gegebene Funktion auch wirklich monoton.