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Guten Tag

Ich habe zur folgenden Funktion die Lösung zu Monotonie und zu den Grenzwerten von den Rändern von Df. Brauche aber jemanden der mir bestimmte Schritte genauer erklärt.

Funktion:

$$f(x)=\quad arctan(\frac { { x }^{ 3 }-1 }{ x-1 } )$$

Wir dürfen keine Ableitung benutzen. Bei der Monotonie haben wir nach Polynomdivision und Quadratischer Ergänzung folgendes heraus:

$$f(x)=\quad arctan\quad (({ x+\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }\quad +\frac { 3 }{ 4 } )$$

Bis dahin hab ichs verstanden. Nun kommt:

$$\frac { -1 }{ 2 } \quad \le \quad x\quad <y\\ \Rightarrow \quad x+\frac { 1 }{ 2 } \quad <\quad y+\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow \quad { (x+\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }\quad <\quad { (y+\frac { 1 }{ 2 }  })^{ 2 }\\ \Rightarrow \quad { (x+\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } \quad <\quad { (y+\frac { 1 }{ 2 }  })^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } \\ \Rightarrow \quad arctan({ (x+\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } )\quad <\quad arctan({ (y+\frac { 1 }{ 2 }  })^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } )\\ \Rightarrow f(x)\quad <\quad f(y)\\ $$


Ich verstehe das ganze verfahren nicht. Wieso wird -1/2  in der ersten zeile genommen? Und warum wird von der Funktion bei jedem schritt hinzugefügt?


Zum Grenzwert habe ich folgendes Problem. Warum muss man den Lim einmal von +-unendlich und von 1 laufen lassen? Der Df ist ja alle Reellen zahlen außer 1. Reicht es nicht aus wenn man den lim von + und - 1 bildet?

Vielen Dank

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1 Antwort

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zur Monotonie:

Das kannst du im Grunde nur durch Rückwärtsrechnen

verstehen, das ist ja bei vielen Beweisen so, dass man

sich wundert wie da einer drauf gekommen ist.

wenn du f(x) < f(y ) haben willst, setzt du erst mal den Funktionsterm ein.

Und wegen der Monotonie von arctan kannst du den sozusagen weglassen

und hast dann

( x+ 1/2 ) ^2 + 3/4    <   ( y+ 1/2 ) ^2 + 3/4 

und musst ja irgendwie schauen, wie auf x < y kommst, also die 3/4 auf

beiden Seiten weg  gibt:

( x+ 1/2 ) ^2    <   ( y+ 1/2 ) ^2  

aber die Quadrate kannst du jetzt nicht einfach weglassen, denn die

Quadratfunktion ist streng monoton steigend nur im Bereich [0 ; unendlich[.

Also    x+1/2    und y +1/2 beide  größer oder gleich 0 sind.

Das sind sie aber nur, wenn x und y beide größer gleich -1/2 sind,

Deshalb fängt der Beweis damit an; denn nur in dem Bereich ist die

gegebene Funktion auch wirklich monoton.

Avatar von 289 k 🚀

Kannst du mir bei meiner Grenzwertfrage auch helfen?

Der Def.ber. hat 4 Ränder  - unendlich,  1 von links,  1 von rechts und + unendlich

für x gegen - unendlich geht  ( x^3 - 1 ) / ( x-2 ) gegen + unendlich, also arctan davon gegen pi/2

für x gegen 1 zeigt ja die Polynomdivision, das    ( x^3 - 1 ) / ( x-2 ) gegen 3 geht, also f

insgesamt gegen arctan(3).

für x gegen unendlich geht  ( x^3 - 1 ) / ( x-2 ) auch gegen + unendlich, also arctan davon gegen pi/2.

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