Monotonie. Grenzwerte an Rändern von Df f(x)= arctan( ((x^3)-1) / (x-1) )?

Question

Guten Tag

Ich habe zur folgenden Funktion die Lösung zu Monotonie und zu den Grenzwerten von den Rändern von Df. Brauche aber jemanden der mir bestimmte Schritte genauer erklärt.

Funktion:

$$f(x)=\quad arctan(\frac { { x }^{ 3 }-1 }{ x-1 } )$$

Wir dürfen keine Ableitung benutzen. Bei der Monotonie haben wir nach Polynomdivision und Quadratischer Ergänzung folgendes heraus:

$$f(x)=\quad arctan\quad (({ x+\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }\quad +\frac { 3 }{ 4 } )$$

Bis dahin hab ichs verstanden. Nun kommt:

$$\frac { -1 }{ 2 } \quad \le \quad x\quad <y\\ \Rightarrow \quad x+\frac { 1 }{ 2 } \quad <\quad y+\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow \quad { (x+\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }\quad <\quad { (y+\frac { 1 }{ 2 }  })^{ 2 }\\ \Rightarrow \quad { (x+\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } \quad <\quad { (y+\frac { 1 }{ 2 }  })^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } \\ \Rightarrow \quad arctan({ (x+\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } )\quad <\quad arctan({ (y+\frac { 1 }{ 2 }  })^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } )\\ \Rightarrow f(x)\quad <\quad f(y)\\ $$

Ich verstehe das ganze verfahren nicht. Wieso wird -1/2  in der ersten zeile genommen? Und warum wird von der Funktion bei jedem schritt hinzugefügt?

Zum Grenzwert habe ich folgendes Problem. Warum muss man den Lim einmal von +-unendlich und von 1 laufen lassen? Der Df ist ja alle Reellen zahlen außer 1. Reicht es nicht aus wenn man den lim von + und - 1 bildet?

Vielen Dank

Answer 1

zur Monotonie:

Das kannst du im Grunde nur durch Rückwärtsrechnen

verstehen, das ist ja bei vielen Beweisen so, dass man

sich wundert wie da einer drauf gekommen ist.

wenn du f(x) < f(y ) haben willst, setzt du erst mal den Funktionsterm ein.

Und wegen der Monotonie von arctan kannst du den sozusagen weglassen

und hast dann

( x+ 1/2 ) ^2 + 3/4    <   ( y+ 1/2 ) ^2 + 3/4 

und musst ja irgendwie schauen, wie auf x < y kommst, also die 3/4 auf

beiden Seiten weg  gibt:

( x+ 1/2 ) ^2    <   ( y+ 1/2 ) ^2  

aber die Quadrate kannst du jetzt nicht einfach weglassen, denn die

Quadratfunktion ist streng monoton steigend nur im Bereich [0 ; unendlich[.

Also    x+1/2    und y +1/2 beide  größer oder gleich 0 sind.

Das sind sie aber nur, wenn x und y beide größer gleich -1/2 sind,

Deshalb fängt der Beweis damit an; denn nur in dem Bereich ist die

gegebene Funktion auch wirklich monoton.

Comments

Kannst du mir bei meiner Grenzwertfrage auch helfen?

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Der Def.ber. hat 4 Ränder  - unendlich,  1 von links,  1 von rechts und + unendlich

für x gegen - unendlich geht  ( x^3 - 1 ) / ( x-2 ) gegen + unendlich, also arctan davon gegen pi/2

für x gegen 1 zeigt ja die Polynomdivision, das    ( x^3 - 1 ) / ( x-2 ) gegen 3 geht, also f

insgesamt gegen arctan(3).

für x gegen unendlich geht  ( x^3 - 1 ) / ( x-2 ) auch gegen + unendlich, also arctan davon gegen pi/2.