Komplexe Zahlen: Bestimme Sie den Real- und Imaginärteil

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für die folgenden komplexen Zahlen \( z_{1}-z_{4} \) jeweils den Real- und Imaginärteil, den komplex konjugierten Ausdruck, sowie den Betrag.

(a) \( z_{1}=\frac{13}{3} \cdot(i+1)-\frac{26}{3} \cdot\left(\frac{3-2 i}{2-3 i}\right) \)

(b) \( z_{2}=\frac{i^{4}}{5} \cdot(2+i) \cdot((3-5 i)-2 i) \)

(c) \( z_{3}=\left|i+2 \cdot(-1-i)-\frac{i}{10} \cdot(5 i)\right| \)

Problem:

Ich kriege das Ergebnis nicht raus.

Bei a) ((3-2i)/(2-3i)) hab ich mit (i) erweitert damit i^2 raus kommt. Bei ((3-2i)/(2-3i)) steht allerdings in der Beispielrechnung etwas von, mit (2+3i/2-3i) zu erweitern, ich verstehe nicht warum man nicht nicht einfach mit i erweitert oder sonst einer Zahl, warum das gleiche, mit einem minus ?

Die anderen Aufgaben habe ich nicht.

Comments

Wenn du eine komplexe Zahl im Nenner hast, dann erweitere den ganzen Bruch mit dem komplex konjugierten Nenner. Danach ist der Nenner reell.

Nur mit \(i\) zu erweitern bringt dich hier nicht weiter wie du bestimmt selber festgestellt hast,

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z3: Vgl. hier: https://www.mathelounge.de/257655/komplexe-komplex-konjugierten-ausdruck-betragstrichen-angeben

Answer 1

((3-2i)/(2-3i))  wenn du nur mit i erweiterst, hast du zwar im Nenner bei 3i ein i^2 aber bei der 2 dann das i.

Das hilft also nicht. Wenn du mit  2+3i erweiterst, ist es so

(3-2i)(2+3i)  /     (  (2-3i)(2+3i)  )

= ( 6 -4i + 9i + 6 )   /   (   4  - 6i + 6i  + 9 )

=  (  12 + 5i )  /  13                 wegen der 3. binomi. Formel gibt es dann immer einen reellen Nenner

= 12/13   +   5/13 * i  

Also Re-Teil  12/13 und Im-Teil   5/13

und dann stand da ja noch was vor:

13/3 *( i+1 ) +  26/3 * ( 12/13   +   5/13 * i   )

= 13/3 i  + 13/3    +  4  +   10/3  i

=  25/3  +   23/3 i

wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Comments

danke, noch eine Frage zu b)

wenn man das rechnet kommt man irgendwann auf

(2/5)+(1/5i)*(3-7i)

Ich habe das gerechnet und habe anscheinend ein falsches Ergebnis raus, nur weil ich

(2/5)+(1/5i)*(3-7i) nicht in Klammern gesetzt habe und (3-7i) *(1/5i) gerechnet habe, habe ich etwas übersehen?

eigentlich müsste da doch das gleiche rauskommen

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auch bei den komplexen Zahlen gilt: Punkt vor Strich,

also erst    (1/5i)*(3-7i) ausrechnen und dann

2/5  + das Ergebnis davon.

Answer 2

Hallo

zu a)

ich habe am Ende erhalten:

13i/3 +13/3 -24/3 -10/3 i=

-11/3 +i