Häufungspunkt. Folge: Wie bestimme ich die Menge von Häufungspunkten?

Question

Wie bestimme ich die Menge der Häufungspunkte von D mit Beweis, wenn ich

D=]a,b] c R mit a<b habe??

ICh weiß, dass Ix-x0I<epsilon sein muss, aber wie zeige ich das?

Präzision gemäss Kommentar

Also ich habe nur die Definition von Häufungspunkten von D

für alle epsilon aus R⁺ : {x aus R: I x-x_o I < epsilon} n D \ {x₀ } ≠ ∅ 

Und soll die Menge der Häfungspunkte für das oben genannte Beispiel sowie für

b) D={1/n : n aus N }

c) D= Q c R

zeigen.

Comments

Hast du irgendeine Folge (Formel) als Beispiel?

Unter Punkt 2 ist eine Folge mit 2 Häufungspunkten erklärt. Leider kann ich dir Fragestellung dort nicht mehr ändern. Die Formel ist in der Antwort richtig geschrieben:

https://www.mathelounge.de/6435/haufungspunkte-abgeschlossen-analysis-probleme-beispielen

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Also ich habe nur die Definition von Häufungspunkten von D

für alle epsilon aus R⁺ : {x aus R: I x-x_o I < epsilon} n D \ {x₀ } ungleich 0

Und soll die Menge der Häfungspunkte für das oben genannte Beispiel sowie für

b) D={1/n : n aus N }

c) D= Q c R

zeigen.

Ich denke, dass ich was mit Mengengleichheit zeigen muss oder? Also wenn ich eine Teilmengenrelation nehme, muss ich in zwei Richtungen beweisen?

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Also ich habe nur die Definition von Häufungspunkten von D

x_o ist Häufungspunkt von D, wenn:

für alle epsilon aus R⁺ : {x aus R: I x-x_o I < epsilon} n D \ {x₀ } ungleich "leere Menge"

Das würde ich jetzt lesen als

" Für alle Epsilon grösser 0 gibt es in D ein reelles x ≠ x₀ so dass |x-x_0| < Epsilon.

Nun versteh ich wenigstens die Frage. 

Answer 1

 

Antwort hier ist Fortsetzung der Diskussion im Kommentar oben:

Ich denke aber das ist eher eine Verständnisfrage. Du sollst vielleicht nur die Definition verstehen und dann die Menge der Häufungspunkte H dieser Mengen hinschreiben.

a) D=]a,b] c R mit a<b 

--------> H=[a,b]

Eine Eigenschaft von reellen Zahlen ist, dass es in jeder möglichen Epsilonumgebung unendlich viele andere reelle Zahlen gibt. Deshalb für das ganze Intervall.

Am Rand kannst du (a+ 1/n ) annehmen, Epsilon also 1/n setzen und n gegen unendlich gehen lassen.

b) D={1/n : n aus N }

------> H = {0}

0 ist der Grenzwert der Folge (1/n)_{n Element N} . Epsilon kannst du 1/n wählen.

c) D= Q c R

-------> H = R

Die rationalen Zahlen liegen dicht in R. D.h. es gibt in jeder Epsilonumgebung einer reellen Zahl unendlich viele rationale Zahlen. Auch hier kannst du Epsilon = 1/n wählen.