Folge mit 3 Häufungspunkten

Question

gesucht ist eine Folge reeller Zahlen, die genau 3 Häufungspunkte hat. Zudem soll man dies beweisen.

Solch eine Folge wäre ja z.B. f(n) = sin ((2pi*n)/3).

Wie zeigt man denn, dass die Häufungspunkte 0, ((sqrt3)/2) und -((sqrt3/2) sind? Man könnte es bestimmt mittels Teilfolgen tun, aber ich finde keine vernünftige Lösung dafür.

Gruß

Answer 1

> f(n) = sin ((2pi*n)/3).

Einfacher: (sin(πn/2))_n∈ℕ hat die Häufungspunkte -1, 0 und 1.

Noch einfacher: (n mod 3)_n∈ℕ hat die Häufungspunkte 0, 1, 2.

Comments

Wie würde man denn bspw. die Häufungspunkte von f(n) = (sin(πn/2)) zeigen? Man müsste doch Teilfolgen von f(n) finden, die jeweils gegen -1, 0 und 1 konvergieren. Aber wie geht man hierbei vor?

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Sei (a_n)_n∈ℕ = (sin(πn/2))_n∈ℕ.

Es ist a₀ = sin(0) = 0, a₁ = sin(π/2) = 1, a₂ = sin(π) = 0, a₃ = sin(3/2 π) = -1.

Wegen sin(x) = sin(x + 2π) ist

           sin(πn/2 + 2π)

        = sin(πn/2 + 4π/2)

        = sin(π(n+4)/2)

        = a_n+4.

Also:

1. Wertebereich der Folge ist {-1, 0, 1}.
2. Die Teilfolge (a_2n)_n∈ℕ konvergiert gegen 0.
3. Die Teilfolge (a_4n+1)_n∈ℕ konvergiert gegen 1
4. Die Teilfolge (a_4n+3)_n∈ℕ konvergiert gegen -1.

Answer 2

Man berechnet f(1), f(2) und f(3) und verweist darauf dass SIN ((2pi*n)/3) periodisch mit der Periode 3 ist.