konvergente Folge b_k ist Häufungspunkt einer beschränkten Folge a_n, zz.: lim n to inf. b_k ist auch HP von a_n

Question

Aufgabe:

Sei (a_n) eine beschränkte Folge, H((a_n)_n) die Menge der Häufungspunkte von (a_n)_n und
(b_k) eine konvergente Folge mit b_k ∈ H((a_n)_n) für alle k ∈ |N. Zeigen Sie, dass
lim bk ∈ H((a_n)_n).
k→∞

Problem/Ansatz:

b_k ∈ H((a_n)_n). <=> Exist. TF a_{n_j} mit a_{n_j} --> b_k für j → ∞

Ich weiß nicht wie ich auf einen Ansatz komme.