Verständnisfrage zur Differential- und Integralrechnung

Question

ich verstehe nicht so richtig, weshalb man bei einer Gleichung wie: 2 * dx= 1/y * dy integrieren muss, um weiter rechnen zu können. Macht man das, um den Differentialquotienten wegzubekommen und warum verschwindet dx und dy überhaupt nach dem integrieren? Die Frage mag jetzt ein wenig schwammig formuliert sein und vermutlich auch nicht sehr Intelligent wirken, aber ich hoffe ihr könnt mir trotzdem helfen das zu verstehen. Ein anderes Beispiel wäre auch nicht schlimm^^.

Answer 1

Das Differential dx ist ein infinitesimates Inkrement der Groesse x. Durch "Aufsummieren" (d.h. Integrieren) bekommt man die weg. Z.B. ist \(\int_a^b dx=(b-a)\). Oder ohne Grenzen: \(\int{dy\over y}=\ln|y|\).

Gehe ich recht in der Annahme, dass Du ueberhaupt nicht weisst, was man sich bei der Schreibweise \(\int_a^b f(x)\,dx\) geometrisch vorstellen soll? Oder warum Ableitungen als \({dy\over dx}\) geschrieben werden?

Comments

Tja, erstmal danke für die Antworten. Also ich bin schon "etwas" länger raus aus dem Thema und versuche meinen Wissenstand in der Hinsicht aufzufrischen. Ähm, geometrisch bedeutet es doch einfach, dass man eine Fläche unter einer Funktion ermittelt oder? Und man schreibt Ableitungen doch als dy/dx, weil das die Tangentensteigung beschreibt  und die erste Ableitung nichts anderes ist als die Steigung!? Oder rede ich gerade nur Blech ? ^^

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Nicht direkt Blech, aber ich kann nicht erkennen, wie man vom Deiner Beschreibung ausgerechnet auf diese Bezeichnungsweisen für Integral und Ableitung kommen soll. Irgensowas wie \(\square f\) für die Flaeche oder \(Ty\) für die Tangentensteigung waere viel naheliegender.

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Ok, wie würdest Du diese denn Beschreiben? Weil anders kenne ich es zumindest nicht.

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Das Integralzeichen ist ein stilisiertes S für Summe, dx ist ein infinitesimaler Zuwachs der Integrationsvariablen, f(x) dx ist eine Rechtecksflaeche mit Hoehe f(x) und infinitesimaler Breite dx. Alles aufsummiert zwischen a und b ergibt dann die Gesamtflaeche unter der Kurve.

Beim Differentialquotienten ist dx wieder ein infinitesimaler Zuwachs von x und dy=f(x+dx)-f(x) ist der korrespondierende infinitesimale Zuwachs von y. Der Quotient dy/dx ist dann natuerlich die Tangentensteigung bzw. die Ableitung.

Mit Differentialen kann man recht weitgehend so rechnen wie mit normalen Groessen auch. Drum heissen Differentialgleichungen auch Differentialgleichungen. Deine Ausgangsgleichung 2 dx = 1/y dy kommt ja wohl von einer Variablentrennung, oder?

Jedenfalls hoffe ich, dass es Dir jetzt etwas anschaulicher ist, warum man Differentiale (unendlich kleine Zuwaechse einer Groesse) durch Integrieren (also Aufsummieren) weg bekommt: Sie werden dadurch wieder zu endlichen Groessen, wie z.B. in \(\int dx =x\) oder \(\int x^2\,dx=x^3/3\).

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Ja, vielen dank und sehr gut erklärt. Macht, für mich, auf jeden Fall jetzt deutlich mehr Sinn :). Ach ja, meine Gleichung kommt durch Variablentrennung zu stande. Die "Grundgleichung" lautete: 0=y'-2y.

Answer 2

Genau, dadurch gehen die dx und dy weg; Grobe erklärung:

Integrieren ist ja sowas wie Ableiten rückwärts, deshalb verschwinden die dx,dy.