Minimalpolynom einer Blockmatrix

Question

Wir sollen das Minimapolynom der folgenden Matrix berechnen

Da sie in Blockgestalt ist, habe ich zunächst die Eigenwerte für die einzelnen Blöcke berechnet: 1 und -1,-1

Da der 2. Block+1Id ungleich 0 ist, lautet das MP wohl (x-1)(x+1)^2. Wenn das richtig ist, habe ich noch eine weitere Frage: Würde a11 statt 1 -> -1 sein, wäre der Eigenwert -1 ja 3 mal vorhanden.

Das "Teilminimalpolynom" vom ersten Block wäre dann (x+1), vom zweiten immer noch (x+1)^2. Liege ich richtig mit der Annahme, dass nun das kgV der beiden "Teilminimalpolynom" das MP bildet? Also (x+1)->1 und (x+1)^2->2 ; das kgV von 1 und 2 = 2 sodass das MP (x+1)^2 lautet?

Comments

Wieso ist die Matrix in Blockgestalt?

Das erste MP ist schon korrekt, aber beim zweiten ist es definitiv falsch. Wenn man den Eintrag \(a_{1,1} = -1\) setzt so ist das MP der Matrix \(A\) (nennen wir sie mal so) \( m_A(x) = (x+1)^3\). Leider kann ich deinen Angaben nicht wirklich folgen und dir damit auch nicht den Fehler in deiner Vermutung aufweisen.

Answer 1

Wer mehr sieht als ich, möge es sagen. Mit der ersten Spalte haben wir schon Eigenwert E1 = 1 und daraus mit der SpurbeziehungSp  (  A  )  =  E1  +  E2  +  E3  =  1  -  1  -  1  =  (  -  1  )        (  1a  ) E2  +  E3  =  (  -  2  )    (  1b  )Und die Determinante tust du nach der ersten Spalte entwickeln:det  (  A  )  =  E1  E2  E3  =  1    (  2a  )E2  E3  =  1    (  2b  )Ich behauipte jetzt: E2;3 sind die Wurzeln eines quadratischen Polynomsx  ²  -  p  x  +  q  =  0     (  3a  )( 1b;2b ) sind aber genau der Vieta von ( 3a )E2  +  E3  =  p     (  3b  )E2  E3  =  q     (  3c  )x  ²  +  2  x  +  1  =  (  x  +  1  )  ²  =  0  ===>  E2;3  =  (  -  1  )     (  3d  )

Comments

An den Support; dieser Editor ist wirklich eine Katastrofe. Der behauptet, ich hätte 8 000 Zeichen übersczhritten und macht anschließend meine ganze Formatierung kaputt.
    Könnt ihr es trotzdem lesen?
    Meine Argumentation stammt aus der Elementarteiler ( ET ) Teorie. Jede Matrix löst ihre eigene Säkulardeterminante; rein von den Eigenwerten wäre das doch jetzt



     P  (  x  ;  A  )  =  (  x  -  1  )  (  x  +  1  )  ²      (  2.1  )




        Gäbe es ein Polynom, das minimaler ist, wäre die Matrix doch diagonalisierbar, Der ET des Eigenwertes E2;3 wäre linear:



      P  (  min  ;  A  )  =   (  x  -  1  )  (  x  +  1  )  =  x  ²  -  1     (  2.2a  )

     
        A  ²  =  1      (  2.2b  )



    Dass Konsequenz ( 2.2b ) falsch ist, siehst du ganz einfach, indem du das Matrixelement A ² ( 1 ; 2 ) nach rechnest; das tut dir nicht den Gefallen zu verschwinden