Parameterform in Koordinatenform mit Additionsverfahren

Question

ich komme gerade an der Stelle nicht weiter:

x=1+r-2s

y=1-2r

z=1+r-s

Für die Koordinatenform habe ich als Ergebnis:

2x+0y-2z=0

Bei mir fliegt bei der zweiten Rechnung das s mit raus und dann weiß ich nicht, wie ich weiter mache.

Comments

sorry x=1+r-s

Answer 1

ich geh davon aus, dass du von der 1. Gleichung die 3. Gleichung abgezogen hast?

Damit bist du aber schon fertig! Denn du kriegst ja schon die KF raus:

$$ x-z = 0$$

Diese ist ganz unabhängig von \(y\).

Gruß

Comments

Warum ist die unabhängig von y ? Also warum kann ich dann die 2 Gleichung unbeachtet lassen?

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Weil du auf einen Schlag die Parameter \(r\) und \(s\) eliminiert hast (was ja das eigentliche Ziel ist). Somit brauchst du die 2. Gleichung überhaupt nicht.

Die Ebene wird ja durch ihre KF beschrieben, in diesem Fall also einfach alle Punkte deren \(x\)- und \(z\)-Koordinaten gleich sind.

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Aber r und s müssen doch Werte haben, sonst könnte y doch nicht = werden ?

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ok, damit die Bedingung erfüllt werden kann..

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trotzdem krass, dass hier dann nicht mit der 3. Gleichung kontroliert werden muss. Danke dir!

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Also alle Punkte deren x und z Werte gleich sind liegen in der Ebene, wenn ich hier die Punktprobe machen muss?

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Ja es ist halt ein sehr einfaches Beispiel, vielleicht deswegen verwirrend. Oft musst du auch alle 3 Gleichungen verwenden damit du beide Parameter eliminieren kannst (also ein wenig mehr Aufwand). Aber keine Sorge ihr,lernt bald die Normalform kennen dann ist der Übergang von Parameter- zur Koordinatenform teilweise noch einfacher (nicht auf dieses Beispiel bezogen).

Die Frage aus deinem obigen Kommentar hab ich dir doch schon beantwortet. Lies bitte gründlicher. Es sind die Punkt mit denselben x und z-Koordinaten. Und sie liegen nicht nur in einer sondern in der Ebene die du hier untersuchst.

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Die Frage war nur noch obligatorisch zum Beweis des Verständnis ;-) . Wir haben schon die Normalform gelernt, aber das Beipiel hat mich interessiert, weil es nicht dem normalen Ablauf mit den 3 Gleichungen entspricht.

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Ich habe das auch nochmal gemacht mit der anfänglichen Gleichung. Dann sieht man den Unterschied.

Wenn es von Interesse ist kann ich das auch nochmal mit dem Kreuzprodukt zeigen. Das wäre eigentlich meine bevorzugte Variante.

Answer 2

x = 1 + r - 2s
y = 1 - 2r
z = 1 + r - s

2*I + II ; 2*III + II

2·x + y = 3 - 4·s
y + 2·z = 3 - 2·s

2*II - I

- 2·x + y + 4·z = 3

Vorzeichen noch umdrehen

2·x - y - 4·z = - 3

Comments

x = 1 + r - s 
y = 1 - 2r 
z = 1 + r - s

I - III

x - z = 0

Solange x = z ist, ist die Gleichung erfüllt. y kann beliebig sein durch das frei wählbare r.

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Ha, cool. Danke, du hast gleich beide Aufgaben gemacht. :-) Das mit dem frei wählbaren r bringt hier etwas Unsicherheit. Würde es auch gehen wenn y=z ist? Kleiner Tippfehler bei dir, es steht II statt III ;-)

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Ich habe mal II in III geändert.

Natürlich geht auch x = y = z

Wichtig ist ja nur x = z und wenn y beliebig sein kann geht auch y = z.