Extrema offenes Intervall (a,b)

Question

Heyho,

ich soll alle Extremwerte berechnen, wobei ich ein offenes Intervall (a,b) habe.

i. )Wenn ich die Grenzwerte der Funktion mit x↦a und x↦b berechne und eins meiner zuvor berechneten lokalen Maxima größer ist als die Grenzwerte, dann habe ich doch ein globales Maxima? (Bei den lokalen Minima dann analog.)

ii.) Was ist, wenn einer der Grenzwerte größer als alle meine lokalen Maxima ist? Besitze ich in dem Intervall dann nur lokale Maxima? Und außerhalb des Intervalls/am Rand des Intervalls liegt dann mein globales Maxima?

Wäre echt super nett, wenn mir jemand helfen würde. ☺

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Falls deine Funktion Definitionslücken auf dem offenen Intervall besitzt musst du diese auch berücksichtigen.

Answer 1

ich soll alle Extremwerte berechnen, wobei ich ein offenes Intervall (a,b) habe.

i. )Wenn ich die Grenzwerte der Funktion mit x↦a und x↦b berechne und eins meiner zuvor berechneten lokalen Maxima größer ist als die Grenzwerte, dann habe ich doch ein globales Maxima? (Bei den lokalen Minima dann analog.)      Das ist richtig !

ii.) Was ist, wenn einer der Grenzwerte größer als alle meine lokalen Maxima ist? Besitze ich in dem Intervall dann nur lokale Maxima?  Ja

Und außerhalb des Intervalls/am Rand des Intervalls liegt dann mein globales Maximum .
Das heißt: Die Funktion besitzt dann KEIN globales Maximum.

Answer 2

Das globale Maximum/Minimum kann nicht außerhalb der Funktion liegen. Dann gibt es kein globales Maximum/Minimum.

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Vielen Dank für die Antwort :)

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Es gibt dann aber eventuell ein Infimum oder Supremum.

Answer 3

zu 1) ja

zu 2) Wegen des offenen Intervalls gibt es keine Randextrema. Es gibt einfach kein globales Maximum

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Danke für deine Antwort :)