Extremen Wert für Volumen einer Schachtel aus Pappe bestimmen

Question

Hi Leute.hab bisher nur extremwertprobleme für Flächeninhalte gelöst.Nun hab ich Schwierigkeiten mit einer Aufgabe bzgl des maximalen Werts vom Volumen.Wie sollte ich hier am einfachsten vorgehen? Aufgabe 8

Answer 1

aus Duplikat:

Wie kann ich diese Klammer auflösen bitte in schritten erklären danke

V(x) = (16-2x) * (10-2x) *x

- - - - - -

jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer "ausmultiplizieren": 

(160 -32x-20x+4x^2) * x

= (160-52x +4x^2) *x

= 160x -52x^2 + 4x^3

Answer 2

Mach dir eine Formel, die das Volumen in Abhängigkeit von x beschreibt.

Das ist hier wohl   (16-2x)*(10-2x) für die Bodenfläche und x für die Höhe der Schachtel,

also Volumen   v(x) = (16-2x)*(10-2x)*x

jetzt Klammern auflösen, Ableitung bilden etc. um das Maximum zu bestimmen.

Comments

Danke dir :)was kommt am ende bei Dir raus? Möchte nur überprüfen ob es übereinstimmt

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Es sollte eigentlich x=2 cm rauskommen: Vgl.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%2816-2x%29+*+%2810-2x%29+*x

Answer 3

Die Grundseiten der Schachtel sind  16-2x und 10-2x, die Höhe x.

Für das Volumen gilt also  V(x) = (16-2x) * (10-2x) *x

Das musst du ausmultiplizieren und dann mit Hilfe der Ableitungen der Funktion V(x) das Maximum bestimmen.

Dein Ergebnis ist richtig!

Comments

Könntest du mir bitte kurz erklären wie du die Klammer aufgelöst hast?

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V(x) = [16*10 -16*2x -2x*10 - 2x*(-2x)]*x

= [160 - 32x -20x +4x²]*x

=160x - 52x² + 4x³

V'(x) = 12x²-104x +160

x² - 104/12 x + 160/12 = 0

PQ Formel:

x_1,2= 104/24 ± √(104/24)^2-160/12)

x_1,2 =13/3 ± 7/3

x₁ = 6/3 = 2

x₂ = 20/3

x₂ geht nicht, daher x₁ = x = 2 ist die Lösung.

V(2) = (16-4) * (10-4) * 2 = 144

Answer 4

Länge: 16-2*x, da 2mal x weggeschnitten wird.
Breite: 10-2*x
Höhe: x

 V_Quader = l*b*h

 alles in V_Quader einsetzen: 

=> V = (16-2*x)(10-2*x)*x | ausmultiplizieren
=> V = 160x-32x²-20*x²+4*x³
=> V= 4*x³-52*x²+160 | 1. Ableitung =>Extrempunkt
=> V'(x)=12x²-104x | gleich 0 setzen
=> 0=3x²-26x | Nullstellen berechnen
 x=0 und x=26/3.

Das größte Volumen ist also bei x=26/3 erreicht!

Comments

=> V = 160x-32x²-20*x²+4*x³
=> V= 4*x³-52*x²+160x | 1. Ableitung =>Extrempunkt
=> V'(x)=12x²-104x+160 | gleich 0 setzen

Dann kommt auch 2 raus !

Answer 5

Höhe der Schachtel: x

Breite der Schachtel: 10-2x

Länge der Schachtel: 16-2x

Alles Klar? Sonst weiterfragen.

Answer 6

Zielfunktion f(x)=(16-2x)*(10-2x)*x

also f ' (x) = 12x^2 - 104x + 160Ich bekomme für f ' (x) = 0 heraus:

x=20/3   oder   x=2 .

Jetzt musst du noch schauen, wo ein Max bzw. Min ist.