Bilden die Geraden ein Dreieck?

Question

Man soll die Geraden a,b und c überprüfen ob sie ein Dreieck bilden und auch die Koordinaten der Eckpunkte sowie die Längen der Seiten des Dreiecks berechnen. Wäre über die einzelnen Schritte sehr dankbar als Klausurvorbereitung

a:x=(-11 16 -7)+k*(6 -5 5); b:x=(7 -18 6)+r*(2 -1 8); c:x=(15 7 16)+s*(4 3 4)

Answer 1

Wenn die Geraden ein Dreieck bilden sollen, müsen sie sich schneiden, um Eckpunkte bilden zu können.

Es gilt also zu prüfen, ob es eine Punkt gibt, für den a=c

beziehungsweise b=c

sowie  a=b.

Comments

Leider sagt mir das noch nicht viel

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a= b

(-11 16 -7)+k*(6 -5 5)=(7 -18 6)+r*(2 -1 8)

in hübsch lesbar:

$$        \begin{pmatrix} -11\\16\\-7 \end{pmatrix}+ k \cdot \begin{pmatrix} 6\\-5\\5 \end{pmatrix}  =\begin{pmatrix} 7\\-18\\6 \end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix} 2\\-1\\8 \end{pmatrix} $$

Gleichungssystem auflösen!

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Tipp: Grafisch sieht man via Geoknecht 3d, dass sie sich nicht schneiden. Nur a und c schneiden sich.

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"bei mir brauchst du auch kein einziges Gleichungssystem lösen."

Nur eine Ebenengleichung aufstellen und von der Koordinatenform in die Parameterform umwandeln und zwei Mal 5000 Zeichen lesen sowie einigen philosophischen Exkursen folgen ...

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Mein Tipp, die Gleichungen aufzulösen, beinhaltet zwangsläufig deren Lösbarkeit zu beurteilen.

Das sollte mit etwas Übung im Umgang mit linearer Algebra zügig zu bewerkstelligen sein und führt recht flott zum Beweis, dass die 3 Geraden nur in einer Paarung einen Schnittpunkt besitzen.

Answer 2

Hier ich hab viel bessere Vorschläge für dich; bei mir brauchst du auch kein einziges Gleichungssystem lösen. Du hast also drei Geraden.




          g1;2;3  :=  P1;2;3  +  k1;2;3  t1;2;3      (  1  )




     Jetzt folge mal meinem Gedankengang. Ein Dreieck ist immer eine ebene Figur; wenn also dein Dreieck ABC existiert, liegt es in einer ( eindeutig bestimmten ) Ebene E. Dann müssen aber g1;2;3 € E ===> P1;2;3 € E Als Erstes werden wir demnach die Gleichung der Ebene E aufstellen ( Schon drei Punkte legen eindeutig eine Ebene fest. )




     P1  :=  (  -11  |  16  |  -7  )      (  2a  )
    
      u  :=  P2  -  P1  =  (  18  |  -  34  |  13  )     (  2b  )

     v  :=  P3  -  P1  =  (  26  |  -  9  |  23  )   (  2c  )

    E  (  r  ;  s  )  =  P1  +  r  u  +  s  v  =:  P  |   -  P1    (  3a  )

    P  =:  (  x  |  y  |  z  )        (  3b  )


   (  3a  )  ist die Parameterform  ( PF )  der Ebene E; im folgenden benötigen wir aber ihre Koordinatenform ( KF )



         a  x  +  b  y  +  c  z  =  c  =  const    (  4  )



    Ich weiß; jetzt kommt wieder der alte Witz von meinem Gruppenleiter ( Ich bin promovierter teoretischer Physiker und habe in der elektronischen Großindustrie gearbeitet )

   " Und? Was haben wir davon? Nix. Und? Was sagt uns das? Wieder nix . . .  " 

   Quasi die Motivation,  " für was "  wir diese KF benötigen. Immer gesetzt den Fall, das Ganze stellt sich als ebenes Problem heraus; das Dreieck existiert. Jetzt nimm dir doch mal die Gerade g1 her; Q  €  g1 .




        Q  =  P1  +  k  t1    =    (  5a  )

      P1  :=  (  x1  |  y1  |  z1  )  ;  Q  :=  (  x2  |  y2  |  z2  )  ;  t1  :=  (  x3  |  y3  |  z3  )  (  5b  )


    (  5a  )  ist eine Vektorgleichung, die du nach Maßgabe von ( 5b ) in 3 Komponenten schreiben könntest. Mit einer Gleichung kannst du alles machen voraus gesetzt, du machst es auf beiden Seiten.  Und zwar bilde ich einen Skalar, indem ich auf beiden Seiten von ( 5a ) die Linearkombination  ( LK )  ( 4 )  bilde.


 
  
       a  x2  +  b  y2  +  c  z2  =  a  x1  +  b  y1  +  c  z1  +  k  (  a  x3  +  b  y3  +  c  z3  )    (  5c  )




      Wir hatten gesagt, für alle Punkte der Geraden, egal ob P1 oder Q , muss  diese LK  ( 4 ) immer c ergeben.  Das eingesetzt in ( 5c )



     c  =  c  +  k  (  a  x3  +  b  y3  +  c  z3  )      (  5d  )

                           a  x3  +  b  y3  +  c  z3  =  0   (  5e  )



   Und zwar ist Identität ( 5e ) nachzuprüfen für alle g1;2;3 bzw. t1;2:3 .
  Hier wenn du dich schwer tust; ich bin immer für Anschauung. Von jeder Geraden liegt schon mal ein Punkt in E ( warum? ) Es geht darum, ob wir jeweils noch einen zweiten Punkt identifizieren können <===>  Die Gerade verläuft ganz in E .
   Meine Routine auf dem Gebiet der " Ebenen " habe ich bei der Konkurrenz ===> Ly cos erworben ( Man dünkt sich hier darüber hoch erhaben. ) Hier da geht's echt voll zur Sache  ( mit Abbildung )

   "   Gegeben: die Eckpunkte so wie die Höhe einer quadratischen Pyramide; ein Flugzeug der Egypt Air setzt zur Landung an ( Geradengleichung wie üblich in PF. ) Stößt das Flugzeug mit besagter Pyramide zusammen? " )

   Ohne Umwandlung der PF aller vier Seitenflächen in die KF kommst du da auf keinen grünen Zweig. Aber die gegenwärtige Aufgabenstellung ist selbst mir neu.
    In Ly cos arbeitete ich ja viel näher am Schüler als hier; fast täglich kamen die Klagen. Schnell wurde klar, dass die Schüler in drei etwa gleich große Kategorien zerfallen:

   1) keine Ahnung, wie man das macht.
    2) rudimentäre Kenntnisse bei Ebenen der Form z = const
    3) allgemeine Kenntnisse vorhanden ( die dann auch entsprechend hochnäsig feil geboten werden. )  - im Hintergrund immer ein Lehrer, der selbst nicht optimal ausgebildet ist.

   Da ich weder Gutenberg noch Bösental bin, muss ich zitieren. Die Lyc osianer haben da einen absolut genialen User, " der Mo " ( soll die Abkürzung von Mohammed sein. ) Der fiel mir erst mal mehr durch seine ungeheuer klugen Fragen auf; aber hier seine Lösung des Problems ( Nach menschlichem Ermessen ist er der Entdecker; es gibt niemanden, der auch nur Kenntnis davon hätte geschweige Urheberschaft beansprucht. )
   Also der Ansatz dieses Billy Mo erscheint mir immer mehr als typisch morgenländisches Zauberkunststück auf dem Basar von 1 001 Nacht ( Er selbst gibt allerdings noch keinen Beweis an; das wird hier nach geholt. )
   Die Einführung in die Buchstabenalgebra beginnt dochdamit, dass du UnBESTIMMTE von Unbekannten unterscheiden lernst; genau diese klare Unterscheidung wird bei Billy Mo verwischt.
   Würde es dir etwas ausmachen, im Geiste zurück zu blättern zu ( 3a ) ? Wie üblich führe ich die angegebene Umformung durch



         r  u  +  s  v  =  P  -  P1    (  6a  )



    Du würdest doch jetzt ohne Weiteres in ( 3ab ) folgende Parameter als unbestimmte ansprechen: r , s , P so wie in ( 3b ) die Koordinatendarstellung von P .
  Billy Mo hingegen geht voll cool her und betrachtet  den Punkt P als KONSTANT ; wir haben den praktisch fest genagelt. P ist auf einmal nicht mehr unbestimmt, sondern konkret. Dann hat es aber Sinn, r und s als Unbekannte in einem LGS zu betrachten, ein Aspekt, der die Optik total verschiebt.
   ( 6a ) ist dieses LGS mit den beiden Unbekannten r und s . Und zwar ist seine Koeffizientenmatrix ( KM ) vom Format 3 X 2 ; ihr Rang ist 2 ( claro; u und v sind ja nicht kollinear, sondern spannen die Ebene E auf. )
   Dann folgt aber: Die erweiterte KM ist QUADRATISCH vom Format 3 X 3 ; nach einem Lehrsatz der AGULA besitzt ( 6a ) eine Lösung in r und s <===> Der Rang der erweiterten KM ist eben Falls 2  -
  IHRE DETERMINANTE VERSCHWINDET .



       det  (  u  |  v  |  P  -  P1  )  =  0        (  6b  )


      Das Ganze lässt sich aber auch noch einfacher sagen. Viele können sich unter einer Determinante nämlich gar nichts vorstellen; eine Determinante ist ein Spatvolumen ===> Spatprodukt .
   Ein Spat ist ein " antroposophischer " Kasten.
    Oder mit den Begriffen des IQ gesagt:   Parallelogramm verhält sich zu Spat wie Rechteck zu Quader.
   Das LGS ( 6a ) besagt: Der Vektor P - P1 ist komplanar zu u und v ; das von diesen drei Vektoren in ( 6b ) aufgespannte Volumen ist Null.
  So jetzt hast du die Formel; in ( 6b ) sind einzusetzen P1 , u und v aus ( 2a - c )  so wie ( rein formal ) P aus ( 3b )



                      |   18  26 x+ 11 |
       det  =      | - 34  -9 y - 16 |     =   (  7a  )
                      |    13 23 z + 7  |



   =  [  -  34  *  23  -  (  -  9  )  *  13  ]  (  x  +  11  )  +  (  26  *  13  -  18  *  23  )  (  y  -  16  )  +  [  18  *  (  -  9  )  -  26  *  (  -  34  )  (  z  +  7  )  =  0    (  7b  )


     -  665  (  x  +  11  )  -  76  (  y  -  16  )  +  722  (  z  +  7  )  =  0  |  :  19    (  7c  )


    Bemerkung; wie rechnet man in der z-Klammer 26 * 34 ?


      34 * 26  =  (  30  +  4  )  (  30  -  4  )  =  30  ²  -  4  ²   (  8a  )


     max Zeichen

Comments

Dies ist meine Ergänzung. Ich mache zwar keinem Nachhilfeexperten seine Einnahmen streitig; ik bin Sternßeichen Renntier und mache das erstens, um mich weiter zu bilden. Aber auch damit hier verschiedene Leutchen zur Kenntnis nehmen, dass ich doch bissele mehr drauf hab. also die Geradengleichungen gleich setzen verbietet sich gleich gar; noch wissen wir nicht, ob sie Wind schief sind.  Übrigens auf das Problem der Windschiefigkeit komm ich zurück.
   Du siehst doch, dass ich in ( 1.5e ) , ( 1.7a ) das allgemeine Konzept vortrage.
   Wir hatten gesagt, als ggt von ( 1.7c ) kommt nur die 19 in Frage. Ganz besonderen Wert lege ich auf die Feststellung: Wiki hat die von mir entwickelten 100-er Regeln nicht verstanden. Bei Teilbarkeit mod m zerlegst du die zu untersuchende Zahl   n



    n  :=  100  a  +  b     (  2.1a  )


    Dann fragst du; was ist  100 mod m ?



       100  mod m  =:  x       (  2.1b  )

        n =  a  x  +  b  modd m     (  2.1c  )



      wiki kennt zwar eine 100-er Regel mod 17 . Auch wird gesehen, dass, da du ja für den Test mod 7 die Quersumme A3 zur Verfügung hast, Bedarf besteht an einem 7-er Test für dreistellige Zahlen.
   Wiki versteht aber nicht, dass der " babylonische Test " genau die 100-er Regel mod 7 darstellt.
   Eben so bei der 19; zu sagen


    19  |  10  a  +  b  <===>   19  |  a  +m  2  b     (  2.2a  )


    übersieht geflissentlich, dass dieser Teilbarkeitstest gerade nicht modulo funktioniert. Durch leichte Abwandlung der Parameter stieß ich auf die ganzen 100-er Regeln



      100 a  +  b  =  5  a  +  b  mod  19      (  2.2b  )
      


   Zurück zu ( 1.7c )




      38  z  -  35  x  -  4  y  =  55    (  2.3  )


     

   Tjaa; Wolfram scheint Recht zu behalten ( Die Probe stimmt; sind aber auch unmögliche Zahlen. )
   t1 befriedigt  ( 1.5e ) ; t2 tut dies gerade nicht.

    " Dreieck puttdemacht. "

     Kann ich dir meine spezielle Schnittpunktsberechnung gar nicht zeigen.
     Lass mich wissen, wenn ich wider Erwarten einen Rechenfehler habe.
     Hier noch etwas; es gibt so einen pädagogischen Effekt.
     Ich selbst habe ihn in Kl. 4 kennen gelernt.
     In dem Alter hast du also noch keinen Plan von Bruchrechnung geschweige periodischen Dezimalzahlen.
     Jetzt kommt so ein neun mal kluger Hosenmatz

    " Hier; wie viel ist 1/3 von 1 € ? "

    Sein Opfer rechnet vielleicht 100 Cent : 3 macht 33 - ja jetzt wird's schwierig. Was nach dem Komma kommt -

     " Soo genau wollt ich das gar nicht wissen. Und was ist EIN HALBES Drittel von 1 € ? "

    Der Angesprochene  ahnt natürlich wieder nicht, dass ( 1/2 ) * ( 1/3 ) = 1/6 .
    Er dividiert 33.3 : 2 = 16.5 . . . ?

   " Und? Was sind anderthalb Drittel von 1 € ? "

       33 + 16 = 49 - aber was kommt dann?

       Triumphgeheul auf Seiten des Fragestellers.

   " Anderthalb von 1 € sind 1.50 € . Und davon 1/3 sind 50 Cent ... "

    Was ich doch damit sagen will. Hier trudeln immer wieder Fragen ein, woran man erkennt, ob sich zwei Geraden schneiden bzw. Wind schief sind. Bisher keine Antwort.
   Und die Billy-Mo-Formel ( 1.6b ) ist sicher keine leichte Kost. Eines Tages versuchte ich sie zur Grundlage einer Antwort zu machen; ich fragte also auch voll kompliziert, " wie viel sind anderthalb Drittel? "
  Das Ergebnis lässt sich sehr gut beschreiben mit einer Frankfotter Redensart

   " Hier mer fasst sisch an de Kopp. "

   Etwas, was ich schon immer hätte wissen können.  Bilde die Funktion




    f  (  t1  ;  t2  )  :=  det  (  t1  |  t2  |  P2  -  P1  )    (  2.4a  )



   Du weißt, dass eine Funktion immer eine eindeutige Funktion ist.  Du wirst also zu beweisen haben, dass diese Determinante nicht von der speziellen Wahl von P1;2 abhängt.
    Wir wollen ferner voraus setzen, dass die beiden Geraden nicht parallel sind.
     Determinante ( 2.4a ) verschwindet genau dann, wenn sich die beiden Geraden schneiden. Beweis. Wenn sie sich schneiden ( hinreichende Bedingung ) dann setze


   
      P1  =  P2  =  Schnittpunkt   (  2.4b  )


    Typisch für mich ist ja folgende Herangehensweise. Stell dir vor, die beiden Geraden sind Wind schief. Wie muss ich P1;2 längs g1;2 verschieben, damit ihr Abstand minimal wird? Eine Extremwertaufgabe. Die Antwort: Vektor ( P2 - P1 ) steht senkrecht so wohl auf t1 als t2 . Damit sind aber die drei Spaltenvektoren von ( 2.4a ) linear unabhängig.
  Zur Sicherheit gebe ich ( 2.4a ) in einen online Matrixrechner ein; verglichen werden g1 und g2.  Diese Matrix habe ich eingegeben; ich kann sie hier deponieren


https://matrixcalc.org/de/#determinant%28{{3,1,9},{-5,-1,-34},{5,8,13}}%29






                      |   3     1      9  |
                      | -5    -1    -34  |   =  357
                      |  5     8     13   |