Wie vertauscht man bei einem Doppelintegral mit Funktionsbeschränkung korrekt die Integrationsvariablen?

Question

Hallo ich kann es einfach nicht in den Kopf bekommen wie man bei der Integration über eine Menge die Grenzen vertauscht, z.B. bei dem einfachen Beispiel auf dem Foto soll über das grüne Dreieck integriert werden.

Ich möchte erst x von 0 bis 1 laufen lassen und dann nochmal die Integrationsvariablen vertauschen, sodass y von 0 bis 1 läuft.

Ich weiß, dass ich bei der Bestimmung der neuen Grenzen die Umkehrfunktion verwenden muss, aber es scheitert schon daran, dass ich nicht genau weiß, in welcher Reihenfolge die zweite Variable läuft...

wenn z.B. y von 0 bis 1 läuft, dann muss x meines Erachtens nach von x=0 bis x=y laufen.. aber es ist scheinbar genau umgekehrt. Aber wenn x 0 ist, ist ja auch y 0!

Gibt es da eine feste Regel, sodass man das auch nicht jedes mal zeichnerisch lösen muss, z.B. bei komplizierteren Mengen?

Comments

Hi, ich würde das so interpretieren:
$$ \int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\left(x+y\right)\,\text{d}x\,\text{d}y = \int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\left(x+y\right)\,\text{d}y\,\text{d}x$$Ich beschäftige mich aber eher selten mit sowas.

Answer 1

Schreibe den Integrationsbereich als Normalbereich in der Form: $$B=\{(x,y):a\le x\le b\wedge \alpha(x)\le y\le\beta(x)\}$$ Dann gilt: $$\int_B f(x,y)\,d(x,y)=\int_a^b\!\!\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y)\,dy\,dx$$ Fuer Dein Dreieck ist \(\alpha(x)=x\) und \(\beta(x)=1\).

Wenn Du die Integrationsreihenfolge tauschen willst, dann musst Du einen Normalbereich bezueglich \(y\) aufschreiben.