Einerseits. Wenn die Metode mehr zählt als das richtige Ergebnis, würde ich dir nicht eben mehr als eine 4 geben. Andererseits kannst du ja nix dafür, dass dir deine Lehrer die falschen Verfahren beigebracht haben. Wir sollten uns überhaupt erst mal klar darüber werden, was das für ein Polynom ist.
In dem Konkurrenzportal ===> Ly cos ( wird hier nicht gern gesehen ) konnte ich viel näher am Schüler arbeiten. Denen sagte ich also, jetzt tretet erst mal einen Schritt zurück; und lasst die Symmetrie dieses Polynoms auf euch wirken.
Totale Fehlanzeige; die reagierten wie benagelt. Die waren jetzt voll abonniert auf das Raten von Nullstellen und ließen sich durch kein gutes Zureden von ihrer fixen Idee abbringen. Da gab es z.B. den User " Kakadu 4711 " , der bestand auf seinen Ratemetoden. Sag ich, er sei ein " Rategei "
Ich bin ja nun berühmt für meine pädagogischen Ansätze. Also gut; wenn Einer eine fixe Idee hat, dann sollte man ihm die selbe möglichst nicht ausreden, sondern ihm die Konsequenzen dieser Idee vor Augen führen. Und damit kam ich bei den ganzen Genossen tatsächlich zum Ziel.
Wer immer Nullstellen raten will, handelt doch grob fahrlässig, wenn er sich nicht wenisten vorher eine Expertise bei Wolfram einholt. Nein keine Angst; ich bin ein kluger Abschreiberling. Ich werde Wolfram ausführlichst kommentieren. Zunächst mal erhöht es allerdings den Überblick, wenn wir dein Polynom in Normalform bringen:
f ( x ) := x ^ 4 - 4 x ³ + 4 x ² - 1 = 0 ( 1 )
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x++^++4++-++4++x++%C2%B3++%2B++4++x++%C2%B2++-++1++ Also schon allein die Grafik von Wolfram wirkt wunderbar symmetrisch; offenbar herrscht Achsensymmetrie gegenüber x0 = 1 . Doch Bilder sind mit Vorsicht zu genießen; das weißt du. Und dann Wolframs Wurzeln; sowas wie " Wurzel ( 2 ) " kannst du nicht raten. Da sollte man schon zu einem exakten Verfahren greifen.
Ihr wisst, ein gerades Polynom kann wenn überhaupt Symmetrie, so nur Achsensymmetrie aufweisen. Und jetzt kommt ein Punkt, da musst du echt über deinen Schatten springen.
Euch wurde beigebracht, diese Symmetrie erkennt man daran, dass in dem Polynom nur gerade Potenzen vorkommen. Eine voll naive Aussage; die Bedingung ist nur hinreichend, nicht notwendig. Wo steht, dass die Symmetrieachse ausgerechnet bei x0 = 0 verläuft? Unsere Hypotese lautete ja x0 = 1 . Effektiv ist es so, dass du einem Polynom wie ( 1 ) in puncto Symmetrie also genau gaar nix ansiehst.
Ich habe mich übrigens mit dieser Frage auseinander gesetzt - lange vor Ly cos. Den Stand der Veröffentlichungen im Internet zu diesem Tema kenne ich; sie alle liegen weit hinter mir zurück. Ja nicht einmal das Problem wird erkannt.
Ein einfaches Testkriterium; schreibe doch mal Wolframs Wurzeln in aufsteigender Reihenfolge. Dann bekommst du die ===> Folge
x < n > := < 1 - sqr ( 2 ) ; 1 ; 1 ; 1 + sqr ( 2 ) > ; n = 1 , . . . , 4 ( 2a )
Hinweis; jede Nullstelle ist in ihrer jeweiligen Vielfachheit zu berücksichtigen. Aus dem Schaubild geht ganz klar hervor, dass x2;3 = 1 doppelt ist. Sonst funktioniert meine Regel nicht. Und jetzt bildest du die Differenzenfolge von ( 2a )
d < n > := x < n + 1 > - x < n > ; n = 1 , 2 , 3 ( 2b )
d < n > = < sqr ( 2 ) ; 0 ; sqr ( 2 ) > ( 2c )
Dann und nur dann ist das Polynom symmetrisch, wenn Folge ( 2c ) Spiegel symmetrisch ist, d.h. d1 = d3 ; das ist der Fall. Ja aus ( 2a ) erhalten wir gleich auch die Lage der Symmetrieachse
x0 = 1/2 ( x1 + x4 ) = ( 3a )
= 1/2 ( x2 + x3 ) ( 3b )
Dabei stimmen die Mittelwerte ( 3ab ) nur dann überein, wenn das Polynom symmetrisch ist.
Wenn du jetzt fragst, aber was machen wir, wenn wir die Knoten gar nicht kennen bzw. es gar keine ( reellen ) Wurzeln gibt. Dann hast du erstmals mein Anliegen verstanden. Und zwar gehen wir über die ===> Taylorentwicklung von Polynom ( 1 ) ; sie lautet
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + 1/2 h ² f " ( x0 ) + ( h ³ / 3 ! ) f(³) ( x0 ) + h ^ 4 ( 4a )
Jetzt gelingt es uns, allgemeine Aussagen über die Symmetrie eines Pülynoms 4. Grades zu machen. Der ===> Leitkoeffizient - hier Eins - ist immer unabhängig von dem Entwicklungspunkt x0 ; deshalb auch kann ein gerades Polynom nie ungerade Symmetrie haben, weil es ja nicht gelingt, die geraden Potenzen zu eliminieren. Aber jetzt folge mal meinem Gedankengang. Die 3. Ableitung eines Polynoms vom 4. Grade ist doch selbst ersten Grades. Und gleichungen ersten Grades Null setzen; das können wir. Es gibt ein und nur ein x0 mit
f(³) ( x0 ) = 0 ( 4b )
Wählen wir doch dieses ausgezeichnete x0 als Entwicklungspunkt.
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + 1/2 h ² f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4c )
Mehr können wir nicht tun; alle Freiheitsgrade sind erschöpft. Mein Prog " Hank Miller " hätte gespottet, go to Church and pray. Also den Alten über den Wolken bitten, dass rein zufällig zusätzlich erfüllet sei
f ' ( x0 ) = 0 ( 4d )
Denn dann hast du gerade Symmetrie
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + 1/2 h ² f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4e )
Ich würd mal sagen; rein vom Verständnis erweist sich das hier als bedeutend einfacher als jede Polynomdivision. Es ist nur so schrecklich aerbeitsintensiv; erster Arbeitsgang: sämtliche ableitungen von ( 1 )
f ' ( x ) = 4 ( x ³ - 3 x ² + 2 x ) ( 5a )
1/2 f " ( x ) = 2 ( 3 x ² - 6 x + 2 ) ( 5b )
1 / 3 ! f(³) ( x ) = 4 ( x - 1 ) ===> x0 = 1 ( 5c )
a0 = f ( 1 ) = 0 ( 6a )
a1 = f ' ( 1 ) = 0 ( 6b )
a2 = 1/2 f " ( 1 ) = ( - 2 ) ( 6c )
a3 := 0 ; a4 := 1 ( 6d )
f ( h ) = h ^ 4 - 2 h ² ( 7 )
