3x³+12x²-12x kann ich da einfach die 1.Ableitung bilden und dann mit der PQ-Formel die Nullstellen berechnen?

Question

Oder muss ich da das Polynomdivision machen?
bitte mit Erklärung :) und wenn es geht auch mit Rechenweg :)

Answer 1

Ja, wenn du die Extrempunkte berechnen möchtest, ist das der richtige Weg.

Wenn du allerdings die Nullstellen der Funktion errechnen willst, führt dich das nicht zum Ziel. Dann musst du ein x ausklammern und eine Fallunterscheidung machen.

 

Extrema:

Ableitung von 3x^3 + 12x^2 -12x ist 9x^2 + 24x -12

Davon jetzt, wie du richtig gesagt hast die Nullstellen bestimmen.

0 = 9x^2 + 24x -12          / auf Normalform bringen (also durch 9)

0 = x^2 + 24/9 - 12/9

p-q-Formel:

x₁₂ = - 12/9 ± √((12/9)^2 + 12/9) = -4/3 ± 2√7/3

x₁ = -4/3 + 2√7/3          x₂ = -4/3 - 2√7/3

 

Nullstellen:

3x^3 + 12x^2 -12x = 0

x * (3x^2 + 12x -12) = 0           Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Also entweder  x₁ = 0

oder

(3x^2 + 12x -12) = 0        / auf Normalform bringen (also durch 3)

0 = x^2 + 4x - 4

p-q-Formel:

x₂₃ = - 2 ± √(2^2 + 4) = -2 ± 2√2

x₂ = -2 + 2√2          x₃ = -2 - 2√2

 

Hier noch ein Bild der Funktion:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3x^3+%2B+12x^2+-12x

Bei Fragen, fragen!

Answer 2

Die "Methode der ersten Ableitung" gibt dir nur die Nullstellen der ersten Ableitung an, aber nicht die, von der Funktion selbst. zb f(x)=x-1 abgeleitet ist f '(x)=1 ≠ 0 für alle x, waehrend f(x)=0 für x=1. Also ist diese Methode falsch.

Viel einfacher : ein x ausklammern: dies liefert x(3x² +12x -12) = 3x(x² +4x-4). jetzt kannste PQ-Formel anwenden und die Lösungen sind:

x=0

x=2(-1-√2) und x=2(-1+√2)