Beschränktes Wachstum Herleitung

Question

Hi Freunde,

beiße mir gerade die Zähne bezüglich der Herleitung des beschränkten Wachstums aus.

Und zwar ist mein Problem:

wenn ich ein Wachstum habe mit

f(x) = - f(0) · e^-k·x  

Diese Funktion kommt aus dem negativen und konvergiert gegen 0. 

Wenn ich an diese Funktion jetzt aber zum Beispiel den Wert + 3 anhänge, dann "ziehe" ich den Graphen in jedem Punkt um den Wert 3 hoch. Nun habe ich doch eigntl. die Funktion eines beschränkten Wachstums mit der Grenze von S = 3.

Wenn ich mir jetzt aber die Herleitung mit dem Sättigungsmanko anschaue, 

f(x)= S-(S-f(0)) · e^-k·x

Und setze für S ebenso zB. den Wert 3, so konvergiert diese Funktion zwar auch gegen 3, hat aber andere Werte. 

Wo liegt der Unterschied in beiden Herangehensweisen? 

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus. 

Answer 1

Die beiden Funktionen, die du vergleichen willst, wären

f(x) = S-f(0)*e^{-kx}  und f(x) = S-(S-f(0)) * e^{-kx}

wobei S die obere Schranke sein soll.

Bei der ersten Funktion müsste S = 2* f(0) sein, bei der zweiten kann f(0) beliebig vorgegeben werden.

Comments

Genau das ist gerade mein Problem.  Warum müsste S = 2* f(0) sein? Würdest du diesen Teil nochmal näher erläutern bitte?

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Vielen Dank -Wolfgang- und mathef

nun kann ich es nachvollziehen.

Answer 2

f(x) = - f(0) · e^-k·x  

Diese Funktion kommt aus dem negativen und konvergiert gegen 0. 

Wenn ich an diese Funktion jetzt aber zum Beispiel den Wert + 3 anhänge, dann "ziehe" ich den Graphen in jedem Punkt um den Wert 3 hoch. Nun habe ich doch eigntl. die Funktion eines beschränkten Wachstums mit der Grenze von S = 3.

Du hast also f(x) =   3  - f(0) · e^-k·x   

wenn du allerdings bei deiner Funktion für x = 0 einsetzt,

dann hast du f(0) = 3 -   f(0) · e^-k·0 

                              = 3 - f(0)

und damit das wirklich = f(0) ist, muss

                        f(0) = 3 - f(0)      gelten

                      also 2f(0)= 3   .  

Bei der anderen Funktion kommt für x=0 immer wirklich f(o) heraus.