Fibonacci-Folge (fn) mit der Differenzfolge (Δfn) vergleichen, Zahlenfolge

Question

Vergleichen die Fibonacci- Folge (f_n) mit der Differenzfolge (Δf_n), die entsteht, wenn man die Differenz zweier auf einander folgender Folgenglieder der Fibanocci- Folge bildet, also Δf_n :=f_n+1- f_n. 

Answer 1

 

Definition Fibonacci-Zahlen. f(n): = f(n-1) + f(n-2). f(0) =0. f(1) = 1.

Man berechne so ein paar Zahlen. f(2) = 1. f(3) = 2, f(4) = 3, f(5) = 5, f(6) = 8, f(7) = 13

Differenzen:  Δf_n :=f_n+1- f_n  berechnen. 

Ich schreibe dafür dn:= f(n+1) -f(n)

d0=1, d1=0, d2=1, d3=1, d4=2, d5=3, d6=5…

Offensichtlich ab d1 verschoben wieder die Fibonnacci-Folge.

Daher Behauptung:

dn = 1 für n=0

dn = 0 für n=1

dn = f(n-1) für n ≥ 2.

Beweis.

Für n=0 und 1 genügt die obige Rechnung.

Nun Fall n≥2 Wegen dn:= f(n+1) -f(n)

und aus Definitiion der Fibonaccifolge f(n):=f(n-2) + f(n-1),
d.h. auch f(n+1) = f(n-1) + f(n)

gilt 

dn = f(n+1) - f(n) = f(n-1) + f(n) - f(n) = f(n-1)

qed