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Zu folgender Aufgabe habe ich die passende Lösung: Berechne in den folgenden Fällen die Reste bei Division von ak durch n für alle k = 1, 2, 3, . . . , n − 1 . Was fällt auf? Führe die Rechnungen ohne Taschenrechner aus und benutze die Rechenregeln für Kongruenzen.

a) n = 11 : a = 2 , a = 3 und a = 10

Lösung für a = 2 :

a1 ≡ 2 (mod 11) =⇒ r11(a1 ) = 2

a2 ≡ 4 (mod 11) =⇒ r11(a 2 ) = 4

a3 ≡ 8 (mod 11) =⇒ r11(a3 ) = 8

a4 5 (mod 11) =⇒ r11(a4 ) = 5

 a5 −1 (mod 11) =⇒ r11(a5 ) = 10

 a6−2 (mod 11) =⇒ r11(a6 ) = 9 

a7 −4 (mod 11) =⇒ r11(a7 ) = 7 

a8 −8 (mod 11) =⇒ r11(a 8 ) = 3 

a 9 6 (mod 11) =⇒ r11(a 9 ) = 6 

a 10 1 (mod 11) =⇒ r11(a10) = 1 

Die Reste sind paarweise verschieden, und es gilt r11(a10) = 1 .

Ich würde gerne wissen, wie man schnell auf die blauen Lösungen und insbesondere die fettgedruckten Zahlen kommt... Das würde mir wirklich sehr weiterhelfen!!!

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2 Antworten

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wenn du hast a^4 kongruent 5 mod 11  Dann ist

a^5 kongruent 5*a mod 11

und für a=2 ist 5*2=10 und das ist kongruent -1 mod 11

Avatar von 289 k 🚀
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Ich würde gerne wissen, wie man schnell auf die blauen Lösungen und insbesondere die fettgedruckten Zahlen kommt...

Rechne einfach das vorhergehende Resultat "MAL 2" und dann das Resultat modulo 11.

a2 ≡ 4 (mod 11) =⇒ r11(a 2 ) = 4

4*2 = 8

a≡ 8 (mod 11) =⇒ r11(a3 ) = 8

8*2 = 16 modulo 11 gibt 5

a≡ (mod 11) =⇒ r11(a) = 5

10 modulo 11

==> -1

 a≡ −1 (mod 11) =⇒ r11(a5 ) = 10

-1 *2 = -2

 a6 ≡ −2 (mod 11) =⇒ r11(a6 ) = 9 

-2 * 2 = 4 

usw.

Avatar von 162 k 🚀
DANKE!!! So langsam verstehe ich, wie das funktioniert :D...

Bitte. Gern geschehen.

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