Hmm, meinst du vielleicht das Koordinatengitter? Also einfach eine Art "Manhatten-Straßenführung" der folgenden Form:
Naja, das ist glaub ich relativ schwer geschlossen aufzuschreiben.
Um so etwas herauszufinden, hilft es, einfach erstmal die Lösungen für die ersten paar n hinzuschreiben.
Erstmal ist klar: für ungerades n ist die Antwort stets 0. Denn jedes mal, wenn man einen Zug macht, wechselt man von einer ungeraden zu einer geraden Zahl. Man beginnt aber bei 0, um also auch bei 0 zu enden, benötigt man eine gerade Anzahl von Zügen. Das gilt sowohl in einer Dimension als auch in zweien.
Also:
n=1: #Wege = 0
n=2: Hier kann man immer nur einmal weg und wieder hingehen, das in vier Richtungen also gilt: #Wege = 4
n=3: #Wege = 0
n=4: Hier kann man immer um ein Viereck herum gehen und das im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn in jede Richtung, das macht 8 Wege. Außerdem kann man einfach zwei Wege weg und wieder zurückgehen, sind nochmal vier Wege. Dazu kommen dann noch die Wege der Form (0,0)->(0,1)->(0,0)->(0,1)->(0,0) Das sind ingesamt 4*4=16 Wege. Macht insgesamt #Wege = 28, allerdings bin ich mir da noch nichtmal völlig sicher, mag sein, dass ich was vergessen hab.
n=5: #Wege = 0
n=6: Puh, das ist schon ziemliche Arbeit. Erstmal vier Rechtecke pro Richtung:
Dazu dann viermal drei Schritte weg und drei Schritte zurück.
Außerdem jede Möglichkeit mit zweimal in eine Richtung... halt, das wird zu aufwändig!
Vielleicht lieber etwas anderes:
Noch mal ganz systematisch von Anfang an:
n=2: Wir haben beim ersten Schritt 4 Möglichkeiten. Wenn wir eine davon nehmen, befinden wir uns im Abstand 1 und müssen den nächsten Schritt zurücknehmen, also gibt es insgesamt 4 Möglichkeiten.
n=4: Wir haben beim ersten Schritt 4 Möglichkeiten. Beim zweiten Schritt haben wir wieder 4 Möglichkeiten, davon bringt uns jeweils 1 in den Abstand 1 und 3 in den Abstand 2. Wir haben damit für die ersten beiden Schritte 4*1+4*3 Möglichkeiten.
Bei den 4*1 bleiben uns jetzt wieder vier Möglichkeiten eine Richtung zu wählen, der nächste Schritt muss zurückführen, diese werden also insgesamt zu 4*1*4*1 Möglichkeiten.
Bei den 4*3 Möglichkeiten müssen wir noch einmal unterscheiden: Von den dreien war eine "weiter auf der Achse bleiben" und die anderen beiden "nach links/rechts abbiegen".
Falls wir auf der Achse geblieben sind, bleibt uns nichts anderes übrig, als zurückzugehen und zwar den gerade Weg, also gilt für diese, dass es 4*1*1*1 Möglichkeiten gibt. Bei den anderen beiden gibt es genau zwei Wege, die uns zurückführen, also gibt es da 4*2*2*1 Möglichkeiten. Insgesamt sind das:
4*1*4*1 + 4*1*1*1 + 4*2*2*1 = 36
Ich hatte oben offenbar ein paar Möglichkeiten vergessen und zwar z.B. die folgende: (0,0)->(0,1)->(1,1)->(0,1)->(0,0)
Für höhere n wird auch das beliebig hoffnungslos. Worum gehts dir denn überhaupt?
