Berechnung von Eigenvektoren

Question

Ich habe eine Frage zu folgendem Ausschnitt eines Beispiels. Es handelt sich hierbei um die Berechnung der Eigenvektoren einer 3x3 Matrix nach der Berechnung der Eigenwerte. Und zwar komme ich nicht dahinter warum x1=t gewählt wird. Meine Überlegung sieht so aus. Das GS wurde ja auf Treppenstufenform gebracht (siehe rote Linie). Dann lautet es 2 Variablen - 1 GS ungleich Null = 1 Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad wird ja so gewählt das es kein führender Eintrag ist und da x3 schon bekannt ist wird x1=t gewählt liege ich damit richtig? Mich würde noch interessieren ob diese Eigenvektoren immer eindeutig sind oder ob es auch verschiedene Lösungen gibt die richtig sein können.

Answer 1

Per Defintion gibt es immer verschiedene Eigenvektoren (da diese einen Unterraum als Lösungs eines LGS bilden)

Ansonsten liegst du richtig.

Comments

Kurze Frage ob ich das richtig verstanden habe. Meinst du damit das die Vektoren v1,v2,v3 verschieden sein können, denn das können sie soweit ich weiß oder das sogar der v1 im selben Beispiel verschiedene Lösungen habn kann. Ansonsten danke für deine Hilfe.

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Was sollen v2,v3 sein?

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naja die matrix hat ja 3 eigenwerte und zu jedem eigenwert einen eigenvektor? Das wären dann v1,v2,v3

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Welche Matrix? Es gibt 3x3-matrizen mit nur einem Eigenwert oder auch zwei.  Und selbst dann wäre die Namenszuordnung nicht eindeutig. Und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer verschieden.

Answer 2

Der Freiheitsgrad wird ja so gewählt das es kein führender Eintrag ist und da x3 schon bekannt ist wird x1=t gewählt liege ich damit richtig? Mich würde noch interessieren ob diese Eigenvektoren immer eindeutig sind oder ob es auch verschiedene Lösungen gibt die richtig sein können. 

In deinem Fall nicht, da ja x2=x3=0 ist.

Also hat man eine "Freiheit" nur bei x1.

wäre die Matrix aber nach der Rechnung z.B. so

1     1     1    0

0     1    2     0

0      0   0      0  

könntest du mit x3=t beginnen und hättest dann x2=-2t und x1^= t

oder auch mit  x2 = s und das gäbe x3= - 0,5s und x1 = -0,5 s

aber alle, die in der Form ( t ; - 2t ; t ) geschrieben werden können,

kannst du auch in der Form  ( -0,5 s ; s ; -0,5 s ) schreiben .

Das ist dann nicht EIN Eigenvektor, sondern es sind unendlich

viele, die den Eigenraum zu lambda=1 bilden.