Lagrange Funktion: c*ln(x1) + d*ln(x2) - λ(p1*x1+p2*x2-m) lösen

Question

ich habe die folgende Lagrange Funktion aufgestellt: c*ln(x₁) + d*ln(x₂) - λ(p₁*x₁+p₂*x₂-m)

Ich habe nach x1, x2 und λ abgeleitet und erhalte:

Nach x1 =          a/x1 - λp1 = 0

Nach x2=           b/x2 - λp2 = 0

Nach  λ =          p₁*x₁+p₂*x₂-m = 0

Nun habe ich die 1 und 2 Gleichung nach  λ umgestellt und gleichgesetzt:

a/x1 * 1/p1 = b/x2 * 1/p2

ist das bis hier hin korrekt?

Ich scheitere jetzt daran nach x1 oder x2 aufzulösen. Wenn ich nach x1 auflöse erhalte ich a* 1/p1 : b/x2 * p2 = x1

Mir scheint, dass es bestimmt noch schöner geht das ganze aufzuschreiben. Vielleicht kann mir jemand erklären wie das Ganze in schön (und eventuell in richtig?) auszusehen hat.

Answer 1

a/x1 * 1/p1 = b/x2 * 1/p2

a/ x1 = b/x2 * p1/p2

a*x2 = b*x1 *p1 /p2

x2 =  x1 * b*p1 / (p2*a)

einsetzen in    p₁*x₁+p₂*x₂-m = 0

p1*x1 +    x1 * b*p1 / a    - m = 0

x1 * ( p1 + b*p1/a ) = m

x1 = m / ( p1 + b*p1/a ) =  a*m / ( a*p1 + b*p1 ) =  a*m/ ( p1*(a+b) )

Comments

Ist es eigentlich die Regel, dass ich immer erst nach x2 auflöse? Ich habe bereits mehrere dieser Aufgaben gelöst und in den Ergebnissen wurde immer erst nach x2 aufgelöst.