Bei einer quadratischen Gleichung stellt sich ganz typisch die Alternative: Entweder sie ist prim, das ===> Minimalpolynom ihrer Wurzeln. Oder sie zerfällt in die beiden rationalen Linearfaktoren
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 1 )
wobei Darstellung ( 1 ) wie üblich als gekürzt voraus gesetzt sei.
Schau mal hier, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Aber von Gauß kann er nicht stammen; das ist eine Jahrtausendfälschung.
1) Wiki kann kein Zitat vorweisen vor 2006, dem wahrscheinlichen Entdeckungsjahr. als seriös gilt ===> v.d. Waerden ( 1930 )
2) Gleich in der ersten Woche, nachdem mir der SRN bekannt wurde, entdeckte ich zwei pq-Formeln. Stell dir vor, das Polynom ist in ===> primitiver Form gegeben ( ganzzahlig gekürzt )
f ( x ) := a2 x ² + a1 x + a0 = 0 ( 2 )
p1 p2 = a0 ( 3a )
q1 q2 = a2 ( 3b )
Hatte in den 200 Jahren seit Gauß niemand diese Idee? Voll abwegig . . .
Gleich dein erstes Beispiel
x
2 + 4 x - 45 = 0 ( 4 )
Du hast verstanden, dass wegen ( 3b ) und in Übereinstimmung mit dem SRN alle ganzzahligen Zerlegungen des Absolutgliedes 45 zu raten sind. Nun sind aber x1;2 TEILER FREMD . Woher weiß ich jetzt das wieder? Machen wir erst mal fertig.
45 hat die Primfaktorenzerlegung 45 = 3 ² * 5 . Teiler fremd heißt , du darfst das Dreierpäckchen nicht aufschnüren. es verbleiben die triviale Zerlegung 45 = 1 * 45 so wie die nicht triviale 45 = 5 * 9 . Hinreichende Bedingung - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta von ( 4 )
p = x1 + x2 ( 5a )
| x1 | = 1 ; | x2 | = 45 ; | p | = 44 ( 5b )
| x1 | = 5 ; | x2 | = 9 ; | p | = 4 ( 5c ) ; ok
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen - und fertig ist die Laube.
Wie war das jetzt mit dem ggt? Sei m ein Teiler; dann folgt aus Vieta für die primitive Darstellung ( 1;2 )
m | p1;2 <===> m | a1 ; m ² | a0 ( 6a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 6a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 2 ) heißen ( K wie Koeffizient ) Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt ; die Behauptung
ggt p1;2 = gkt ( f ) ( 6b )
Und abermals der Fälschungseinwand. Teilerfürst Gauß, der Entdecker von Teilbarkeitseigenschaften, die unsereins nicht mal versteht, sollte nicht hinter den gkt gekommen sein?
An der zweiten Gleichung kannst du das Gelernte gleich erproben:
5 x ² + 22 x + 8 = 0 ( 7 )
Ein zusätzlicher Fallstrick; das Absolutglied a0 = 8 ist positiv. aber " Minus Mal Minus " gibt ja auch Plus; für welches Vorzeichen entscheiden wir uns? Hier hilft die cartesische Vorzeichenregel
" Zwei Mal Minus "
x1 < = x2 < 0 ( 8 )
Gerade hier, wo wir mit ( 3b ) gebrochene Lösungen erwarten, wirkt sich segensreich aus, dass du ein Polynom durch seinen gkt kürzen kannst.
f ( x ) := 5 x ² + 22 x + 8 = 0 ( 9a )
x =: u * gkt ( f ) = 2 u ( 9b )
Substitution ( 9b ) einsetzen in ( 9a )
f ( u ) = 5 ( 2 u ) ² + 11 * 2 ( 2 u ) + 2 * 2 ² = ( 9c )
= 2 ² ( 5 u ² + 11 u + 2 ) ( 9d )
F ( u ) = u ² + 11/5 u + 2/5 ( 9e )
Anmerkung zu ( 9d ) Wir haben erreicht, dass nicht nur a2, sondern auch a0 prim ist.
Anmerkung zu ( 9e ) Schüler fragen immer, welche Formen sind relevant? Die primitive ( 9ad ) für den SRN so wie die Normalform ( 9e ) für Vieta. Ein Polynom, dessen primitive form gleich der Normalform ist wie in ( 4 ) , heißt normiert.
Zwei Alternativen überleben in ( 9d ) je nachdem, welcher Seite ich die 2 zuschlage.
u1 = ( - 2 ) ; u2 = ( - 1/5 ) ; p = ( - 11/5 ) ( 10a ) ; ok
u1 = ( - 1 ) ; u2 = ( - 2/5 ) ; p = ( - 7/5 ) ( 10b )
