Wie kommt man auf die y-Koordinate in der ABC-Formel

Question

Also wir wissen:

a(x-d)² + e =

ax² - 2adx + ad² + e

wandeln wir das in die Normalform um haben wir

b = -2ad

c = ad² + e

ax² + bx + c

Außerdem weiß ich dass der Scheitelpunkt S(d|e) ist.

Ok, und man kann d auch als -b/2a schreiben.

Indem man b = -2ad nach d umstellt.

Das würde bedeuten S(-b/2a | e)

Was ich suche ist wie man e schreiben kann ohne e benutzen zu müssen.

Also ich weiß, dass der Scheitelpunkt auch so geschrieben werden kann.

S(-b/2a | c - b²/4a)

Aber wie kommt man auf e = c - b²/4a ?

Wenn ich c = ad² + e nach e umstelle erhalte ich

c * a *(-b/2a)² = e

Wie kommt man davon denn auf e = c - b²/4a ?

Answer 1

Gesucht ist also der Scheitelpunkt (d|e) zu f(x)= ax²+bx+c.

Teile die Gleichung durch a

f(x)/a= x²+b/a·x+c/a

f(x)/a-c/a= x²+b/a·x. Die quadratische Ergänzung ist (b/(2a))²

f(x)/a-c/a+(b/(2a))²= x²+b/a·x+(b/(2a))²

f(x)/a-c/a+(b/(2a))²=(x+b/(2a))² alles mal a

f(x) - c +b²/(4a)= a((x+b/(2a))²

f(x)= a((x+b/(2a))² + c - b²/(4a)

Dann ist c - b²/(4a) die Verschiebung e in y-Richtung.

Answer 2

Hallo

 du hattest selbst c = ad² + e umgeformt ist das e=c-ad^2, d=-b/2a ; d^2=b^2/4a^2 damit e=c-a*b^2/4a^2 durch a kürzen ergibt c-b^2/4a

Sich diese Formeln zu merken ist ziemlich schrecklich, weil man durch quadratische Ergänzung viel schneller auf die Scheitelpunktform kommt, und wenn man im Verlauf des Matheunterrichts so viele Formeln auswendig lernt, bringt man sie später fast sicher durcheinander!

ax^2+bx+c=a(x^2+b/a*x+(b/2a)^2)-a*(b/2a)^2+c und damit

ax^2+bx+c=a(x+b/(2a))^2+c-a*b^2/(4a)

Gruß lul

Comments

Danke das hilft mir weiter!

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Ok habs bearbeitet, ich hab was übersehen.

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Ich glaub du hast nen kleinen Fehler gemacht:

statt ax2+bx+c=a(x+b/(2a))2+c-a*b2/(4a)

sollte da noch ein a² hin.

ax2+bx+c=a(x+b/(2a))2+c-a*b²/4a² 

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Nein, das hat sich mit dem a vor der Klammer weggekürzt.

lul

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ax2+bx+c=a(x+b/(2a))2+c-a*b2/(4a)  aber dann ist hier ja das a fehl am Platz?

Also entweder das 4a müsste im quadrat sein oder das a vor dem b² ist zu viel.

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Hallo Hipster

ja jetzt hab ich den Fehler in meinem post gesehen es muss insgesamt  heissen

ax^2+bx+c=a(x+b/(2a))^2+c-*b2/(4a)

Danke fürs aufpassen!

lul

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Bei einer Sache war ich etwas verwirrt, daher frage ich sicherheitshalber nochmal nach:

1. ax²+ bx +c


=  a(x²+ b/a * x + (b/2a)² -  (b/2a)² ) + c
kann es sein das hier noch dieser Zwischenschritt vorkommt?

ich hab keine Ahnung von dieser Art der Quadratischen Ergänzung, ich kenn die QE irgendwie anders. Also ich vermute dass du teilweise ausmultipliziert hast und da durch auf : - a * (b/2a)² kommst.

= a(x²+ b/a * x + (b/2a)² ) - a * (b/2a)² + c.

Mir war nicht klar dass man teilweise ausmultiplizieren kann

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Ah und noch eine Sache ist irgendwie unklar.

ax2+bx+c=a(x+b/(2a))2+c-*b2/(4a)

dabei haben wir ja noch nicht die Scheitelform?

Die wäre ja

a(x - d) + e = ax² + bx + c

dabei haben wir ja

 a(x + b/(2a))2+c-*b2/(4a)

Aber die Rechnung ist, korrekt.

Wie kann das sein dass man von a(x - d) +e auf ax² + bx + c kommt aber bei der quadratischen Ergänzung im Grunde  a(x + d) +e erhalten?