Komplexe Zahlen, Lösungen von im(2+z+4i)=4-i+z bestimmen?

Question

ich habe folgende Aufgabe:

im(2+z+4i)=4-i+z

nun sollen alle komplexen Zahlen für Z bestimmt werden.

Aber der imaginäre Teil vor der Klammer stört mich sehr, ich weiß nicht, wie ich vorgehen muss...

Meine Überlegung war:

Im(2)+Im(z)+Im(4i)=(4-i)+z

da

Im(2)=0
Im(4i)=4

=> Im(z)+4=4-i+z

Wenn das bis hier richtig ist, wie müsste der nächste Schritt sein? Oder ist das doch falsch?

Comments

du könntest einfach die 4 auf die linke Seite bringen mitsamt dem i und es sollte stehen bleiben.

Im(z) + i = z

Im(z) = ny

Somit ergibt sich ny + i = z.

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Nächster Schritt wäre etwa \(-4\).

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Ja.

Also bis jetzt habe ich nichts gegen die Zwischenschritte.

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Danke für die Antworten!

Aber laut WolframAlpha ist:

z = 1+i

aber wie kommt man auf die 1? Bzw. warum wird Im(z) => 1?

-Fragesteller-

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Na ja, du hast doch inzwischen \(\text{Im}(z)=z-\text{i}\). Mach was draus!

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Meine Vermutung wäre das z = i + im(z) aussagt, dass der Imaginärteil von z, welches aus einem i besteht, nämlich z = i + im(z) gleich 1 ist, da genau 1*i als Imaginärteil besteht. Wenn beide z die Gleichen sind. Das würde heißen, dass img(z) von z der Realteil ist.

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Wenn man davon ausgehen darf, dass der Imaginärteil zum Realteil werden kann, macht das natürlich Sinn!

Vielen Dank nochmal

-Fragesteller-

Answer 1

Wenn man davon ausgehen darf, dass der Imaginärteil zum Realteil werden kann, macht das natürlich Sinn!

Das würde ich jetzt so wörtlich nicht stehen lassen.

Es ist vielmehr so, dass $$Im(z) =      Im(a+i \,b )= b     \in \mathbb{R}$$

also grundsätzlich eine relle Zahl ist.

Wenn nun in einer Gleichung auf einer Seite

$$Im(z) =     \cdots$$

steht, muss auf der anderen Seite zwangsläufig so ausgeglichen werden, dass KEIN Imaginärteil mehr auftaucht bzw. es gilt:

$$Im(Im(z)) =     0$$

Comments

Die letzte Aussage gilt immer.
Was willst du damit dagen?