Flächenberechung mit Doppelintegral

Question

Bei dieser Aufgabe ist die Fläche mit einem Doppelintegral zu berechnen. Ich habe schon mal das Integral aufgestellt, aber wie mache ich jetzt weiter?

Comments

!!

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Meine Antwort ist Dir entgangen?

Answer 1

Hi Sascha,

ich versuche mich mal, aber ohne Gewähr ;).

 

Deinem Doppelintegral stimme ich soweit zu.

 

∫_-1¹∫_-x+1^x+1 e^x dy dx = ∫_-1¹ [y·e^x]_-x+1^x+1 dx = ∫_-1¹ (x+1)e^x-(-x+1)e^x dx = ∫_-1¹ 2x·e^x dx

=[2e^x(x-1)]_-1¹=0-(-4e^{-1})=4/e≈1,472

 

Die partielle Integration habe ich mir gespart aufzuschreiben. Wenn unklar frage gerne nach ;).

 

Grüße

Comments

Okay, danke!

Aber als Ergebnis soll heraus kommen:

= e + 1/e - 2 = 1,086

Ich weiss nicht was da noch anderes gerechnet werden muss!!!!

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Jetzt wo ich das Wochen später anschau ist der Fehler auch klar^^.

Nochmals sauber:

 

Wir haben die Begrenzung durch die x-Achse mit jeweils -1 bzw. 1. Der Fehler bei unserer y-Achse liegt aber nun in der unteren Grenze. Diese ist natürlich 0 und nicht -x+1 oder sowas.

Splitte auch das Integral. Von -1<x<0 und 0<x<1:

 

|∫_-1⁰∫₀^-x+1 e^x dy dx| + |∫₀¹∫₀^x+1 e^x dy dx| = 1,086

 

Ich denke die Rechnung selbst brauche ich nicht nochmals vorstellen. Das ist dieselbe. Die Grenzen hatte ich aber falsch gewählt.

 

Verzeih die Verwirrung und hoffe es ist nun klar.

 

Grüße

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Inwiefern wird durch das Doppelintegral eine Fläche berechnet?

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Genau genommen haben wir keine Fläche berechnet.

Eine Fläche hätten wir berechnet, wenn wir das Doppelintegral über 1 hätten.

Wir integrieren über e^x. Wie man das genau interpertiert kann ich Dir da gar nicht sagen. Du schaust Dir halt etwas an (zum Beispiel ein Material) was eine bestimmte Eigenschaft hat. Die Eigenschaft wird dabei durch e^x beschrieben ;).

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Ich habe es jetzt noch mal durchgerechnet mit den neuen Grenzen, aber ich komme nicht auf die 1,086 !!!

Wo liegt mein Fehler?

 

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Beim ersten Integral hast Du doch x+1 als obere Grenze des zweiten Integrals.

Im Schaubild hast Du doch eine positive Steigung im linken Abschnitt ;).

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∫_-1⁰∫₀^x+1 e^x dy dx = ∫_-1⁰ [e^x*y]₀^x+1 dx = ∫_-1⁰ e^x*(x+1) dx = [(x-1)e^x+e^x]_-1⁰ = [x*e^x]_-1⁰ = 0-(-1/e) = 1/e

 

∫₀¹∫₀^-x+1 e^x dy dx = ∫₀¹[e^x*y]₀^-x+1 dx = ∫₀¹ (1-x)e^x dx = [e^x+e^x(1-x)]₀¹ = [2e^x-xe^x]₀¹ = 2*e-1*e-(2-0)=e-2

 

1/e+e-2=1,08616

 

Nun klar? ;)

Behalte beim Grenzen abstecken immer Dein Bild im Auge.

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Ohja, das war ein übler Fehler. DANKE!!!

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Gerne ;)         .

Answer 2

Hi, es geht auch in der ursprünglichen Reihenfolge:

int(int(exp(x), x = y - 1..0), y = 0..1) + int(int(exp(x), x = 0..1 - y), y = 0..1) =
int(1 - exp(y - 1), y = 0..1) + int(exp(1 - y) - 1, y = 0..1) =
1/e + e - 2.