Kreisausschnitt mit Doppelintegral berechnen

Question

Man berechne das Doppelintegral:

$$ \iint _ { ( A ) } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } dx \; dy $$

wobei A der skizzierte Bereich der x,y-Ebene ist.

Die Grenzen sind würde ich sagen:

dr = 0 - 2/3 Pi

dPhi = alpha - R

Was setze ich denn dann für x^2+y^2 ein und wie gehe ich mit dem alpha um?

Answer 1

Es ist auf jeden Fall klug, Polarkoordinaten zu verwenden.

Damit erhältst du für r die Grenzen 0 und R (denn du muss ja bis zum Rand des Kreises integrieren) und für phi die Grenzen 0 bis alpha.

Die Polarkoordinaten sind definiert als r² = x²+y² und es gilt r dr dphi = dxdy

Also musst du das folgende Integral lösen:

$$ \int _ { 0 } ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 2 } \cdot r d r d \phi = \int _ { 0 } ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 3 } d r d \phi = \alpha \frac { R ^ { 4 } } { 4 } $$

Da für alpha und R keine Werte angegeben sind, bleibt das so stehen.

Comments

DANKE, das hat mir geholfen! Aber wieso denn 0 - alpha ???