Berechnen Sie folgendes Integral:

Question

∫ 1/(1+x^1/3) _dx

^{Hallo ihr lieben, diese Integralaufgabe kam in der letzten Klausur vor und ich versuche mich momentan auf die Nachholklausur vorzubereiten.}

^{Ich habe mir gedacht man könnte vllt} (1+x^{1/3) = u  also substitutieren aber das ging dann nicht, da ja dann nichts zum wegkürzen gibt..}

^{Bin total verwirrt und weiß nicht wie man die lösen kann,}

^{Danke für jede Antwort:)}

Comments

wo genau steht der Exponent? An dem ganzen Nenner (x+1)^{1/3} oder an dem x: (1+x^{1/3})?

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Dieses Integral?
$$ \int\frac { 1 }{ 1+\sqrt[3\,\,]{x} }\text{ d}x $$

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ja dieses integral, sorry war am tablet x) und da gab es irwie kein formeleditor

Answer 1

EINE Möglichkeit

substituiere

z=x^{1/3}

dann erhältst du

=3 int (z^2)/(z+1) dz

und dann weiter mit Polynomdivision

=int(z +1/(z+1) -1) dz

Du hast nun 3 einfache Integrale.

Resubstitution nicht vergessen

Lösung:

= (3 *x^{2/3})/2 -3 *x^{1/3} +3 ln( x^{1/3} +1) +C

Comments

dann erhältst du

+t

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hey, danke dir.
Mich verwirrt es etwas ab "dann erhältst du":
woher kommt das x² ?
Ich stell mal mein blatt rein x)

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Mich verwirrt es etwas ab "dann erhältst du":

Substitition:

z=x^{1/3}

dz/dx= 1/(3 *x^{2/3})

dx=3 *x^{2/3} *dz

Umformung:

x^{2/3}= (x^{1/3})^2

eingesetzt in den Integranden:

=3 int (1/(1+z) *x^{(1/3)}^2) dz

z= x^{1/3}

=3 int (z^2)/(z+1) dz

Answer 2

Die Substitution \(u=1+x^\frac 1 3\) ist richtig.

Vielleicht hilft es dir schon, wenn du weißt, dass dann \(x^{-\frac 2 3}=(u-1)^{-2}\) gilt. Kommst du damit weiter?

Comments

hmm warum ist das so? x)

ich probiers mal aus.

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$$ 3\int { (u-1)^{ -2 } } \quad *\quad u^{ -1 } $$

komme jetzt nicht mehr weiter, habe dann partielle integration durchführen wollen mit

v' = u^-1 und w=(u-1)^-2 , aber das geht dann irwie immer weiter mit den schwierigen integrationen.. :/

ausmultiplizieren war auch nicht so sinnvoll.. weiß nicht weiter :(