Berechne folgendes Lebesgue-Integral.

Question

Aufgabe:

Wir haben folgende Funktion gegeben:

f : ℝ -> ℝ(quer, also ℝ mit unendlich) : x ↦ {

2, falls x ∈ (0,3) \ ℚ

3, falls x ∈ (0,3) ∩ ℚ

∞, falls x = 0

0, sonst

Nun soll folgendes Lebesgue-Integral berechnen: \( \int\limits_{}^{} \)f dλ.

Kann mir jemand zeigen, wie man sowas macht? Steh leider auf dem Schlauch. Danke im Voraus.

Answer 1

Du hast eine sogenannte Treppenfunktion im Lebesgueschen Sinne vorliegen, obwohl sie nicht so aussieht. Ich benutze hier für Lebesgue-messbare Mengen A für die Indikatorfunktion die folgende Schreibweise:

 \(I_{A}(x) = \left\{ \begin{array}{cc}  1 & x \in A \\ 0 & x \not\in A\\ \end{array}\right. \)

Damit gilt

$$f(x) = 0\cdot I_{(-\infty,0)}(x) + \infty\cdot I_{\{0\}}(x) + 2\cdot I_{(0,3)\setminus \mathbb{Q}}(x)+ 3\cdot I_{(0,3)\cap \mathbb{Q}}(x) + 0\cdot I_{[3,\infty)}(x) $$

Das Lebesgue-Integral von f ist nun definiert als

$$\int_{\mathbb R}f\;d\lambda = 0\cdot\lambda\left((-\infty,0)\right) + \infty\cdot \lambda\left(\{0\}\right) + 2\cdot \lambda\left((0,3)\setminus \mathbb{Q}\right)+ 3\cdot \lambda\left((0,3)\cap \mathbb{Q}\right)+ 0\cdot\lambda\left((0,\infty)\right)$$

Jetzt ist es wichtig, folgendes zu wissen, um diesen Ausdruck auszuwerten. Sei A Lebesgue-messbar, dann gilt im Rahmen der Maßtheorie:

(1) \(\lambda(A) = 0 \Rightarrow \pm\infty\cdot \lambda(A) =0\)

(2) \(f(x) = 0 \text{ für } x\in A,\; \lambda(A) =\infty \Rightarrow f(x)\cdot \lambda(A) = 0\)

Weiterhin gilt, dass

\(\lambda(\mathbb Q) = 0 \Rightarrow \lambda\left((0,3)\cap \mathbb{Q}\right) = 0 \text{ und } \lambda\left((0,3)\setminus \mathbb{Q}\right) =   \lambda\left((0,3)\right) = 3 \)

Daher

$$\int_{\mathbb R}f\;d\lambda = 0 + 0 + 2 \cdot 3 + 3\cdot 0 + 0 = 6$$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Das hat mir sehr geholfen. Ich hätte noch eine Frage: Wie kann ich hier zeigen, dass f ∈ { f Treppenfunktion im Lebesgueschen-Sinne | f ≥ 0}. Wir hatten die Treppenfunktion im Lebesgueschen Sinne definiert als eine Funktion der Form: f = \( \sum\limits_{n=1}^{i}{} \) b_n * Indikator_Bn

Wobei b₁, …, b_i aus ℝquer sind und B1, … Bi paarweise disjunkte Borel-Mengen sind. Das wäre echt super, wenn du mir das noch zeigen könntest :) Und danke nochmal.

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Die sind doch paarweise disjunkt und alles ist nicht-negativ. Passt also perfekt auf deine Definition.

Answer 2

Das Lebesgue-Integral von f ist definiert als die Summe der Flächen unter der Kurve von f innerhalb eines gegebenen Intervalls. In diesem Fall wurde das Intervall nicht angegeben, sodass wir das Integral von f für das gesamte Definitionsbereich von f berechnen sollen.

Der Definitionsbereich von f ist ℝ, also müssen wir das Integral von f für x ∈ ℝ berechnen. Der Wert von f für x ∈ ℝ ist entweder 2, 3 oder ∞, abhängig von x.

Für x ∈ (0, 3) ∩ ℚ ist f(x) = 3. Die Fläche unter der Kurve von f für x ∈ (0, 3) ∩ ℚ ist daher ein Rechteck mit Höhe 3 und Breite 3 - 0 = 3. Die Summe der Flächen aller Rechtecke für x ∈ (0, 3) ∩ ℚ ist daher 3 * 3 = 9.

Für x ∈ (0, 3) \ ℚ ist f(x) = 2. Die Fläche unter der Kurve von f für x ∈ (0, 3) \ ℚ ist daher ein Rechteck mit Höhe 2 und Breite 3 - 0 = 3. Die Summe der Flächen aller Rechtecke für x ∈ (0, 3) \ ℚ ist daher 2 * 3 = 6.

Für x ∈ ℝ \ (0, 3) ist f(x) = 0. Die Fläche unter der Kurve von f für x ∈ ℝ \ (0, 3) ist daher 0.

Das Integral von f ist daher 9 + 6 + 0 = 15.

vielleicht hilft dir das?

Comments

Bei \((0, 3) ∩ ℚ\) erhält man ein anderes Ergebnis, denn das Lebesgue-Maß von \(\mathbb{Q}\) ist Null.