Lineares Gleichungssystem lösen: I) a^{2x} + 2ay = 3a und II) 2ax + a^2y = -3a

Question

I ) a^{2x} + 2ay = 3a

II) 2ax + a^2y = -3a

Für das Gleichungssystem oben soll die Lösung für jedes a in R bestimmt werden .

Wenn ich II ) nach y umforme , bekomme ich y = (-3-2x ) / a

Dann für y in I ) 

x = (-2/a^2) -(1 / a)

Das dann in I ) 

y = -a

x und y müssen ja so von a abhängen , dass das Ergebnis für alle a angegeben werden kann . 

Wie bestimme ich das endgültige Ergebnis ? 

Answer 1

Ich denke du meinst eventuell 

a^2·x + 2·a·y = 3·a

2·a·x + a^2·y = - 3·a

Schau das System mal an und erkenne was bei a = 0 passiert. Nun teilen wir durch a, wenn a <> 0 ist.

a·x + 2·y = 3

2·x + a·y = - 3

Erkenne was passiert wenn a = -2 oder wenn a = 2 ist.

Additionsverfahren 2*I - a*II

y·(4 - a^2) = 3·a + 6 --> y = 3/(2 - a)

2·x + a·3/(2 - a) = - 3 --> x = 3/(a - 2)

Answer 2

Zunächst ist das Gleichungssystem nicht linear.

Man sieht unmittelbar, dass wenn a = 0 ist, x und y beliebig ungleich Null sein dürfen.

Für a ≠ 0 addiert man Gleichung I und II:

a^2x + 2ax + a^2y + 2ay = 0

a^2x + 2ay = 3a

Die Lösung ist:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28a^%282x%29%2B2a*x%2Ba^%282y%29%2B2a*y%3D0%2Ca^%282x%29%2B2a*y%3D3a%2Cy%29

$$ y=\frac { 3-{ a }^{ 2x-1 } }{ 2 } $$

Comments

Als ich die Ausgangsgleichungen in Wolfram eingegeben habe, wurde kein Ergebnis gefunden. Deshalb die Addition von Gleichung I und II.

Wolfram findet das gleiche Ergebnis, wenn man die Gleichungen zuvor durch a teilt.

Ich werde morgen versuchen, die Lösung nachzuvollziehen.

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Ich habe oben das Gleichungssystem falsch in Wolfram eingegeben. Die oben dargestellte Lösung ist die simple Umformung von Gleichung I nach y.

Bei einer korrekten Eingabe des Gleichungssystems in Wolfram wird kein Ergebnis gefunden.

Formt man auch Gleichung II nach y um und setzt beide Ergebnisse gleich, so lässt sich die Lösung vermutlich nicht mit elementaren Funktionen darstellen.

Es bleibt zu untersuchen, für welche a Lösungen existieren. Diese Lösungen müßten dann nummerisch bestimmt werden.