Wie viele Möglichkeiten gibt es 4 Bindfäden zusammen zu binden?

Question

Eva und Laura vereinbaren das folgende Spiel: Eva nimmt gleichartige Bindfäden gleicher Länge derart in eine Hand, dass von jedem Bindfaden an jeder Seite ihrer Faust genau ein Ende herausragt. Laura verknüpft zunächst auf einer Seite der Faust jedes Bindfadenende mit genau einem anderen Bindfadenende auf dieser Seite der Faust und verknüpft anschließend auf der anderen Seite der Faust jedes Bindfadenende mit genau einem anderen Bindfadenende auf jener Seite der Faust. Stellt sich beim Öffnen der Hand heraus, dass die Bindfäden einen einzigen „Ring“ bilden, so hat Laura das Spiel gewonnen. Anderenfalls hat Eva gewonnen.

a) Untersuche, welches Mädchen bei diesem Spiel die größeren Gewinnchancen hat, wenn Eva 4 Bindfäden nimmt.

Meine Überlegng: Ich kann an vorn die Bänder auf 6 verschiedene Arten zusammenknoten. Hinten auch. wären 6x6=36 Möglichkeiten. Um einen Ring zu erhalten muss ich die Reihenfoge beachten. Ich komme auf 24 Möglichkeiten = 4! Lauras Gewinnchance ligt bei 24 von 36 also 2/3, Eva demzufolge bei 1/3.

b) (Zusatzaufgabe für besonders Interessierte) Untersuche, welches Mädchen bei diesem Spiel die größeren Gewinnchancen hat, wenn Eva 6 Bindfäden nimmt.

Wende ich das auf Aufgabe b an: sind es insgesamt 15x15 =225 Möglichkeiten.
6! ist aber 720.
Wo liegt mein Denkfehler?

Comments

Die Aufgabe mit Tipps von mir gibt es bereits unter

https://www.mathelounge.de/262895/wie-viele-moglichkeiten-gibt-es

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Das habe ich bereits gelesen. Auf ihre Ergebnisse von Aufgabe a) komme ich ja auch. Nur komme ich mit disen Hinweisen bei b) nicht weiter. Und ich finde meinen Denkfehler nicht.

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Dann schreib mal in der anderen Aufgabe was du zu b bisher als Lösungsansatz hast. Hast du bereits etwas aufgemalt ?

Ich melde diese Frage dann zur Löschung.

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zu a)
4 Bindfäden kann man auf der einen Seite wie folgt zusammenbinden. 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4; also 6 Möglichkeiten.
Auf der anderen Seite gibt es die gleichen Möglichkeiten, also insgesamt 6x6=36.
Um Ringe zu erhalten muss man auf die Rihenfolge achten, also:
12-23-34-41
12-24-43-31
13-32-24-41
13-34-42-21
14-42-23-31
14-43-32-21
Also 6 Möglichkeiten, ich kann aber bei jeder der 4 Positionen anfangen. also 4x6=24 oder 4!

zub)
Wende ich dies auf b) an komme ich insgesamt auf 15x15=225 Möglichkeiten.
Fange ich an die Reihenfolge zu notieren: 12-23-34-45-56-61 usw. dann würde ich bei gleicher Überlegung auf 6!=720 kommen.225<720, kann also nicht sein. Nochmal die Frage, wo ist mein Denkfehler?

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4 Bindfäden kann man auf der einen Seite wie folgt zusammenbinden. 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4; also 6 Möglichkeiten. 

ist nicht 2-3 mit 1-4 identisch

ist nicht 2-4 mit 1-3 identisch

ist nicht 3-4 mit 1-2 identisch

Es gibt also eigentlich nur 3 Möglichkeiten die Bindfäden zu verbinden. 

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Wenn ich das auf 3 Möglichkeiten reduziere, führen 2 Möglichkeiten zu einem Ring. damit sind wir wieder bei einer Gewinnchance von 2/3 für Laura.
Wende ich dieses Verfahren auf die 6 Bänder an, hat Laura nur noch eine Gewinnchance von 2/5. Stimmts?

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Ich habe in der anderen Frage mein Ergebnis für 6 Bänder geschrieben.

https://www.mathelounge.de/262895/wie-viele-moglichkeiten-gibt-es

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Sie haben die Lösung für 6 Bänder nicht beschrieben. Ihre Ausführungen helfen in keinster Weise.
Morgen ist wieder Schule, da frage ich meine Kollegen. Da bekomme ich wenigsten eine klare Antwort. Diese Webseite kann man vergessen.

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Diese Aufgabe entstammt der laufenden Mathematik-Olymdiade. Ich halte nichts davon, sie im Internet zu diskutieren.

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Diese Webseite kann man vergessen. (Da hätte man sie sich vorher merken müssen.)

Stimmt aber, wie man an diesem Kommentar sieht : 
Bei n (n gerade) Bändern ist die Wahrscheinlichkeit für Lauras Gewinn (n-2)!! / (n-1)!!

Answer 1

a) Untersuche, welches Mädchen bei diesem Spiel die größeren Gewinnchancen hat, wenn

Eva 4 Bindfäden nimmt.

Wie viele Möglichkeiten hat man auf einer Seite die Bindfäden zu verknüpfen ?

Wie viele Möglichkeiten habe ich demnach die Bindfäden auf beiden Seiten zu verbinden ?

Wie viele Möglichkeiten von diesen genannten bilden einen großen Ring ?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen großen Ring zu haben ?

Welches Mädchen hat demnach die größeren Gewinnchancen ?

Kontroll-Lösung: Laura gewinnt zu 2/3 und Eva zu 1/3

Mache jetzt das gleiche nochmals für 6 Bindfäden.

PS: Bei einer so geringen Anzahl von Bindfäden kann man sich die Möglichkeiten noch gut aufmalen. Das geht nur nicht wenn wir 1000 Bindfäden nehmen. Man kann das aber auch allgemein für eine große Anzahl von Bindfäden berechnen.