Normalform
x ^ 4 - p x ² + q = 0 ( 1a )
p = 25/36 > 0 ; q = 1/9 > 0 ( 1b )
Aus der cartesischen Vorzeichenregel ergibt sich für zwei reelle Wurzelpärchen die notwendige Bedingung p > 0 ; q > 0 . Dies ist Teil meiner Umfang reichen Kategorienlehre über biquadratische Gleichungen.
Ihr macht doch jetzt immer diese z-Substitution
z := x ² ( 2a )
z ² - p z + q = 0 ( 2b )
z nenne ich die Wurzel von ( 2b ) und x die Wurzelwurzel ( W W ) von ( 1a ) Ich gehe nicht über die gewöhnliche Mitternachtsformel, wo du quadrieren musst ( p/2 ) ² , das wären 72 ² Statt dessen ziehe ich gleich am Anfang die Wurzel und dann nochmal die W W . Mein Ansatz, Vieta das geschmähte Stiefkind
p = z1 + z2 = ( 3a )
= x1 ² + x2 ² = 25/36 ( 3b )
In ( 3b ) nehme ich die Substitution wieder zurück. Jetzt Vieta q
q = z1 z2 = 1/9 =: u ² ( 4a )
u = x1 x2 = 1/3 ( 4b )
Genau dasmeine ich; ich hab noch gar nicht richtig angefangen und in ( 4b ) bereits meine erste Wurzel gezogen. Jetzt musst du etwas sehen; fällt dir auf, dass ( 4b ) die quadratische Ergänzung von ( 3b ) ist?
( x2 + x1 ) ² = p + 2 u = 25/36 + 2/3 = 49/36 ( 5a )
x2 + x1 = 7/6 ( 5b )
( x2 - x1 ) ² = p - 2 u = 25/36 - 2/3 = 1/36 ( 5c )
x2 - x1 = 1/6 ( 5d )
Jetzt musst du nur noch das LGS ( 5bd ) lösen.