Extremwertproblem: Aus einem Baumstamm vom Durchmesser d=60 cm soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt ...

Question

Hallo ich brauche Hilfe bei der Aufgabe wiel ich sie nicht verstehe,

ich hoffe ihr könnt mir helfen.

2) Aus einem Baumstamm vom Durchmesser d=60 cm soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt herausgeschnitten werden.

Tragbalken-man erkennt es beispielsweise in jedem Dachstuhl- haben stets größere Höhe y als Breite x. Die Höhe ist für die Tragfähigkeit weitaus bedeutsamer als die Breite.

Die Tragfähigkeit T eines rechteckigen Balkens, so erfährt man es von Statikern,

berechnet man aus T=m x y², wobei m eine für das Baumaterial charakterisitsche Konstante ist.

Für die Materialkonstante m gilt in diesem Fall m= 0.2 . 

Bei welcher Abmessung wird diese Tragfähigkeit möglichst groß ?

Comments

Hast du schon ein Skizze gemacht und die Seiten etc. bezeichnet?
Welche Zusammenhänge könnte man daraus ableiten ?

Answer 1

y = √(0.6^2 - x^2)

T(x) = m·b·h^2 = 0.2·(2·x)·(2·√(0.6^2 - x^2))^2 = 72/125·x - 8/5·x^3

T'(x) = 72/125 - 24/5·x^2 = 0 --> x = √3/5

y = √(0.6^2 - (√3/5)^2) = √6/5

Die Tragfähigkeit wird bei einer Breite von 2*√3/5 = 0.693 m und einer Höhe von 2*√6/5 = 0.980 m am größten.

Answer 2

    Hey ich hab DIE Idea ! Hat mir in einem verwandten Fall schon mal geholfen.
    Keiner von euch merkt, dass hier der Begriff der Ähnlichkeit die zentrale Rolle spielt; der Radius R des Baumes kann doch echt keine Rolle spielen. In Polarkoordinaten



         x  =  2  R  cos  (  ß  )    (  1a  )

         y  =  2  R  sin  (  ß  )    (  1b  )

      T  (  ß  )  =  cos  (  ß  )  sin  ²  (  ß  )    (  2a  )



    Ich schleppe mich nicht mit den ganzen Winkelfunktionen; in solchen Fällen bewährt sich logaritmisches Differenzieren.



    ln  (  T  )  =  ln cos  (  ß  )  +  2  ln sin  (  ß  )  =  max    (  2b  )

     T  '  /  T  =  0  =  2  ctg  (  ß  )  -  tg  (  ß  )     (  3a  )

      tg  (  ß  )  =  sqr  (  2  )    (  3b  )

Answer 3

Durchmesser und Materialkonstante sind unabhängig vom Seitenverhältnis, daher Ansatz:
$$ \frac{T}{d \cdot m}=  x \cdot y^2$$
$$ y=  \sin \phi $$
$$x=  \cos \phi $$
$$ \frac{T}{d \cdot m}=  (  \sin \phi )^2\cdot \cos \phi$$
$$ \frac{d \, \frac{T}{d \cdot m}(\phi)}{d \,\phi}= 2(  \sin \phi )\cdot \cos \phi \cdot \cos \phi +(  \sin \phi )^2\cdot (-\sin \phi)$$
$$ \frac{d \,\frac{T}{d \cdot m}(\phi)}{d \,\phi}=   \sin \phi \cdot(2 \cos \phi \cdot \cos \phi -(  \sin \phi )^2)$$
$$ \frac{d \,\frac{T}{d \cdot m}(\phi)}{d \,\phi}= 0$$
$$ 0=   \sin \phi \cdot(2 \cos \phi \cdot \cos \phi -(  \sin \phi )^2)$$
$$ 0=   \sin \phi_1$$
$$ 0= 2 \cos \phi \cdot \cos \phi -(  \sin \phi )^2$$
$$ 0= 2 \cos \phi \cdot \cos \phi -(1-(  \cos \phi )^2)$$
$$ 1= 2 \cos \phi \cdot \cos \phi +(  \cos \phi )^2$$
$$ 1= 3 (  \cos \phi )^2$$
$$  (  \cos \phi )^2 = \frac 13$$
$$   \cos \phi  _{2,3}   = \pm \sqrt{\frac 13}$$
$$    \phi  _{2,3} = \pm 54,74°$$