Extremwertaufgabe Balken im Baumstamm

Question

ich verstehe folgende Extremwertaufgabe nicht ganz,

Aus einem Baumstamm mit dem Durchmesser d soll ein rechteckiger Balken von möglichst großer Tragkraft herausgeschnitten werden. Berechnen Sie Breite und Höhe des Balkens zunächst allgemein und dann für einen Baumstammdurchmesser von 46cm! (Widerstandsmoment W = (1/σ) * bh^2)

Bringt mir W irgendetwas? Ist dass schon meine Nebenbedingung?

Answer 1

Der Widerstandsmoment ist deine Hauptbedingung

b^2 + h^2 = d^2 --> h^2 = d^2 - b^2

W = k·b·(d^2 - b^2)

W = k·(d^2*b - b^3)

W' = k·(d^2 - 3·b^2) = 0 --> b = √(1/3)·d

h^2 = d^2 - (√3/3·d)^2 = 2/3·d^2 --> h = √(2/3)·d

Answer 2

Hier zunächst die Skizze

r^2 = ( b/2)^2 + (h/2)^2
r^2 = b^2/4 + h^2/4
4 * r^2 = b^2 + h^2
h^2 = 4 * r^2 - b^2

W = 1/6 * b * h^2
W = 1/6 * b * ( 4 * r^2 - b^2 )
Das größte Widerstandsmoment / Extrempunkt
1.Ablleitung bilden und dann zu null setzen.
W = 1/6 * ( 4 * r^2 * b - b^3 )
W ´( b ) = 1 / 6 * ( 4 * r^2 - 3 *b^2 )

1 / 6 * ( 4 * r^2 - 3 *b^2 ) = 0
4 * r^2 - 3 *b^2 = 0
3 * b^2 = 4 * r^2
b^2 = 4 / 3 * r^2
b =  √ ( 4 / 3 ) * r

b = √ ( 4 / 3 ) * 23
b = 26.56 cm

Bitte alles kontrollieren.