Konjugiert komplexe Zahlen. Weisen Sie nach (z1/z2) = z1/z2

Question

Konjugiert komplexe Zahlen. Weisen Sie nach:

$$ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} $$

Answer 1

  Schon mal von Onkel Euler gehört? Die exponentielle Polardarstellung




     z  =  r  exp  (  i  ß  )



    Versuch mal dein Glück

Answer 2

(a + b·i)/(c + d·i) = (a + b·i)·(c - d·i)/((c + d·i)·(c - d·i)) = ((a·c + b·d) + (b·c - a·d)·i) / (c^2 + d^2)

Das komplex konjugierte --> ((a·c + b·d) + (a·d - b·c)·i) / (c^2 + d^2)

(a - b·i)/(c - d·i) = (a - b·i)·(c + d·i)/((c - d·i)·(c + d·i)) = ((a·c + b·d) + (a·d - b·c)·i) / (c^2 + d^2)

Wir sehen das die Ausdrücke identisch sind.

Comments

danke aber ich glaub dadurch dass ich die aufgabe nicht korrekt hinschreiben konnte hast du die aufgabe nicht richtig sehen können.

ich schreibe es mal hoffentlich verständlicher hin.

es ist ein bruch  mit z1 durch z2 das ganze hat dann einen grossen klammer der oben einen gemeinsamen strich hat.

Und auf der linke seite haben wir im zähler z1 und einen oberen strich und im nenner das selbige mit z2

das muss ich nachweisen

bitte um entschuldigung.

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immai: Was Mathecoach geschrieben hat, entspricht genau deiner Fragestellung. 

Du sollst zeigen, dass es auf dasselbe rauskommt, 

wenn man zuerst dividiert und dann das Resultat konjugiert 

oder, 

wenn man zuerst beider Zahlen konjugiert und dann die konjugierten Zahlen durcheinander dividiert. 

Das kannst du nachrechnen in kartesischer Darstellung oder in Polardarstellung.

Answer 3

Falls du vorher schon die ähnliche Gleichung \(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\) bewiesen haben solltest, dann kannst du das hier benutzen:

Die in dieser Frage zu zeigende Behauptung ist äquivalent zu \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} \cdot\overline{z_2}=\overline{z_1}\). Und das ist offensichtlich richtig, wenn man die obige Gleichung beachtet.

Comments

  oder ganz kompliziert. Bemühen wir die Galoisteororie.


   |C ist der Zerfällungskörper des quadratischen Polynoms x ² + 1 . Damit ist |C eine Galois-Erweiterung von |R mit ( |C : R ) = 2.  Nach dem Hauptsatz der Galoisteorie muss dann die Galoisgruppe dieser Körpererweiterung eben Falls Ordnung 2 haben und ist damit zyklisch.
  Sie wird erzeugt von der Komplexkonjugation, der Vertauschung der beiden Wurzeln Plus und Minus i .
  Damit hast du aber umgekehrt auch gezeigt: Die Komplexkonjugation ist der einzige Körpermorphismus mit




        ß  (  z1  +  z2  )  =  ß  (  z1 )  +  ß  (  z2  )      (   1  )

        ß  (  z1  z2  )  =  ß  (  z1 )  ß  (  z2  )        (   2  )

       ß  |  |R  =  Identität    (  3  )